Question

统计学题目？

某大学学生午餐在食堂就餐的概率为65%，抽取40名学生构成的随机样本中，至少有70%在食堂吃午餐的概率是多少

Answer 1

这是一个二项分布问题，样本容量为40，每个学生在食堂就餐的概率为0.65。要求至少有70%的学生在食堂就餐，可以通过计算概率的方式求解。
我们可以使用二项分布的公式来计算概率：
P(X≥k) = ∑(n choose i) * p^i * (1-p)^(n-i) , i=k, k+1, ..., n
其中，n为样本容量，p为每个学生在食堂就餐的概率，X为在样本中在食堂就餐的学生数，k为至少有70%的学生在食堂就餐的阈值。
根据题意，我们需要求解P(X≥0.7*40)，即至少有28名学生在食堂就餐的概率。代入公式计算：
P(X≥28) = ∑(40 choose i) * 0.65^i * 0.35^(40-i) , i=28, 29, ..., 40
使用计算器或统计软件进行计算，得到结果为约0.057，即约为5.7%。因此，40名学生中至少有70%在食堂吃午餐的概率为约为5.7%。

Answer 2

这是一个二项分布问题，其中每个学生是否在食堂吃午餐是一个二元事件，成功的概率为p=0.65，失败的概率为q=1-p=0.35。
要求至少有70%的学生在食堂吃午餐，可以使用概率的加法规则和补集的概念。具体地：
P(至少有70%在食堂吃午餐) = P(有70%及以上在食堂吃午餐) + P(少于70%在食堂吃午饭)
= P(X >= 0.7n) + P(X < 0.7n)
其中X是在样本中在食堂吃午餐的学生数，n是样本容量。
第一项可以使用二项分布的累积分布函数计算，即：
P(X >= 0.7n) = 1 - P(X < 0.7n) = 1 - F(0.7*n; n, p)
其中F(k; n, p)表示二项分布的累积分布函数，表示X小于等于k的概率。
第二项可以直接计算：
P(X < 0.7n) = F(0.7n-1; n, p)
将参数代入计算，得到：
P(至少有70%在食堂吃午餐) = 1 - F(0.740; 40, 0.65) + F(0.740-1; 40, 0.65)
≈ 0.573
因此，这40名学生中至少有70%在食堂吃午餐的概率约为57.3%。

Answer 3

这个问题是一个二项分布的问题。在这里，我们可以使用二项分布的公式来计算所需概率。
假设随机变量X表示在40名学生中吃午餐的人数，p表示在食堂吃午餐的概率，即p=0.65。那么，X服从二项分布B(40, 0.65)。
现在的问题是：至少有70%的学生在食堂吃午餐的概率是多少。换句话说，我们要计算P(X≥28)。
但是，由于X的取值范围较大（0到40），计算这个概率需要进行大量的累加运算。为了避免这种复杂性，我们可以利用二项分布的性质将其转化为正态分布的问题。
由于样本容量n=40足够大，根据中心极限定理，X的抽样分布可以近似看作正态分布N(np, np(1-p))。
因此，我们可以将问题转化为计算z-score并查表得到标准正态分布对应的概率。
z-score=(X-mu)/sigma=(28-26)/sqrt(40*0.65*0.35)=1.142
查表可知，z-score为1.142时对应的概率为0.8735。
因此，至少有70%的学生在食堂吃午餐的概率是0.8735。