Question

集合A=(x,y)/y=√4-x^,B=(x,y)/x+ay+3a=0,A∩B∅,a的取值范围是什？

Answer 1

首先，集合A给出了一个关于x和y的限制条件，其中y = √(4 - x^2)，表示(x, y)位于以坐标原点为圆心、半径为2的圆上。因此，集合A为以坐标原点为圆心、半径为2的圆。
集合B是由一个方程给出的，该方程为x + ay + 3a = 0。对于任意x和y，只要满足这个方程，就属于集合B中的元素。
现在我们需要求出令A∩B = ∅的a的取值范围。
如果A∩B = ∅，则集合A和集合B没有任何公共元素，也就是说，不存在同时满足y = √(4 - x^2) 和 x + ay + 3a = 0的x和y。
将y = √(4 - x^2) 带入 x + ay + 3a = 0中，得到 x + a√(4 - x^2) + 3a = 0。
移项可得：a√(4 - x^2) = -x - 3a，两边平方可得 4a^2 - x^2 - 6ax - x^2 = 0。
化简得 2x^2 + 6ax - 4a^2 = 0，进一步化简得 x^2 + 3ax - 2a^2 = 0。
为了使方程有实数解，根据判别式 Δ = b^2 - 4ac，得到 9a^2 + 8a^2 ≥ 0。因此，a的取值范围为全体实数。