Question

为什么对于处处可导的函数极值点的导数为零？

Answer 1

对于处处可导的函数，其极值必然出现在导数为零的点上。这可以通过导数的定义和局部线性逼近的性质来解释。
首先，考虑函数在某一点 a 处的导数。导数可以理解为函数在该点附近的局部斜率。如果函数在 a 点的导数为正（大于零），则说明函数在 a 点附近是递增的；如果函数在 a 点的导数为负（小于零），则说明函数在 a 点附近是递减的。当导数为零时，函数在该点附近的斜率变化趋势发生转折，即函数从递增转为递减或从递减转为递增。
根据局部线性逼近的性质，当函数在 a 点处导数为零时，可以在 a 点附近通过一条直线（斜率为零）来近似描述该点附近的函数变化情况。这条直线可以看作是函数在 a 点处的切线。由于该切线的斜率为零，表示在 a 点附近的函数变化趋势发生转折，即可能存在极值点。
综上所述，对于处处可导的函数，其极值点的导数为零是因为导数为零对应函数在该点附近的斜率变化趋势发生转折，可能存在极值点。需要注意的是，导数为零只是判断存在极值的一个条件，不一定所有导数为零的点都是极值点，还需要进一步的分析和判断。

Answer 2

对于处处可导的函数，其导数表示了函数在每个点的斜率。当函数有一个极值点时，这意味着在该点的附近，函数从增长转变为减少或从减少转变为增长。也就是说，在极值点处，函数的斜率变为零。
数学上，对于一个处处可导的函数，如果它在某个点上取得极大值或极小值，那么该点的导数必然为零。这是因为导数就是函数在该点的切线斜率，当切线垂直于x轴时，斜率为零。
简单来说，一个处处可导的函数在极值点的导数为零，是因为在极值点处的斜率为零，即切线水平。这是极值点的一个重要特征。但需要注意的是，导数为零的点不一定都是极值点，可能是函数的平稳段（平缓段）或者拐点。因此，导数为零只是判断函数的可能极值点的一个条件，还需要进一步的分析来确定是否为极值点。
希望我的回答能帮助到你~

Answer 3

为什么对于处处可导的函数极值点的导数为零
一个函数在某点处的导数等于该函数的图像在这个点处的切线的斜率。因为在极值点处的切线平行于x轴，斜率是0，所以导数是0。