Question

已知抛物线C:X2=2PY(P>0)上一点A(m,4)到期焦点的距离为17/4.（1)求p与m的值，（2）设抛物线C上一点P的横坐

已知抛物线C:X2=2PY(P>0)上一点A(m,4)到期焦点的距离为17/4.（1)求p与m的值，（2）设抛物线C上一点P的横坐标为t(t>0),过点P的直线交C于另一点Q，交x轴于点M，过点Q作PQ的垂线交C于另一点N。若MN是C的切线，求t的最小值.

Answer 1

(1)由抛物线定义得
4+p/2=71/4即p=1/2
则抛物线方程为X^2=Y
由于点A在抛物线上
则m^2=4解得m=±2
（2）设Q（q，q^2)
则直线PQ方程为y-t^2=(t+q)(x-t)
点M坐标为(tq/(t+q)，0)
由于PQ⊥QN
故直线QN的方程为y-q^2=[-1/(t+q)](x-q)
将抛物线方程代入即得点N的横坐标Xn= -q-1/(t+q)，
其纵坐标为Yn=[ -q-1/(t+q)]^2
因此直线MN的斜率为
k=-（1+tq+q^2)^2/[(t+q)(1+2tq+q^2)]
由于抛物线方程为X ^2=Y
故Y'=2X
若MN是C的切线，
则有k=2Xn
即 -（1+tq+q^2)^2/[(t+q)(1+2tq+q^2)]=2[-q-1/(t+q)]
整理得q^2+3tq+1=0
关于q的方程有解△≥0
即得t≥2/3
因此t的最小值为2/3.