二重积分算的是体积还是面积?
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单从几何意义上来说,二重积分算的是体积;它的特例,当被积函数为1时,计算结果等效为面积。
几何上的解释就是,当高为1时,体积和底面积的数值相等。同理,三重积分在被积函数为1时,其几何意义才是体积。
二者的区别:
二重积分是在二维区域D上积分,如果把被积函数看做立体的高,得到的是体积;当被积函数为1即高等于1时,这个“体积”退化为面积。
三重积分是在立体区间Ω上积分,当被函数为1,即是这个区域的体积。
三原函数积分
设三元函数f(x,y,z)在区域Ω上具有一阶连续偏导数,将Ω任意分割为n个小区域,每个小区域的直径记为rᵢ(i=1,2,...,n),体积记为Δδᵢ,||T||=max{rᵢ},在每个小区域内取点f(ξᵢ,ηᵢ,ζᵢ),作和式Σf(ξᵢ,ηᵢ,ζᵢ)Δδᵢ。
若该和式当||T||→0时的极限存在且唯一,则称该极限为函数f(x,y,z)在区域Ω上的三重积分,记为∫∫∫f(x,y,z)dV,其中dV=dxdydz。
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