Question

求旋转曲面 z=3-x^2-y^2 和平面xoy所围成立体的体积

Answer 1

求旋转曲面 z=3-x^2-y^2 和平面xoy所围成立体的体积
旋转曲面 z=3-x^2-y^2 和平面xoy的交线在xoy平面上的投影是一个半径为sqrt(3)的圆。 旋转曲面 z=3-x^2-y^2 和平面xoy围成立体的形状可以看作是一个半径为sqrt(3)的圆柱体，其高度为z的取值范围。 因此，我们可以计算出圆柱体的体积。 已知圆柱底面半径为：1.7320508075688772 已知圆柱高为：3 根据 圆柱体积公式 V = πr^2h，可计算出旋转曲面 z=3-x^2-y^2 和平面xoy围成立体的体积： V = 3.14 \times 1.7320508075688772^{2} \times 3 = 28.26V=3.14×1.73205080756887722×3=28.26 所以，旋转曲面 z=3-x^2-y^2 和平面xoy围成立体的体积为28.26。

Answer 2

设r=x²十y²，则z=3-r²，旋转抛物面。
顶点，r=0,x=y=0,z=3,
z=0,r=√3
r²=3-z，
用平行于xOy平面的许多平面，间隔dz，将旋转抛物面围成的立体切成薄片，体积
dV=πr²dz=π(3-z)dz
V=π∫(0,3)(3-z)dz
=π[3z-z²/2](0,3)
=π[3(3-0)-(3²-0²)/2]
=π(9-9/2)
=9π/2