Question

如图10，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，则可得结论：①AF=DE；②AF⊥DE

一共4个图

Answer 1

（1）根据正方形的性质证明△DEC≌△AFD即可知道结论成立．
（2）由已知得四边形ABCD为正方形，证明Rt△ADF≌Rt△ECD，然后推出∠ADE+∠DAF=90°；进而得出AF⊥DE；
（3）首先根据题意证明四边形MNPQ是菱形，然后又因为AF⊥DE，得出四边形MNPQ为正方形．解答：解：（1）∵DF=CE，AD=DC，且∠ADF=∠DCE，
∴△DEC≌△AFD；
∴结论①、②成立（1分）
（2）结论①、②仍然成立．理由为：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=DC=CB且∠ADC=∠DCB=90°，
在Rt△ADF和Rt△ECD中
AD=DC ∠ADC=∠DCB CE=DF ，
∴Rt△ADF≌Rt△ECD（SAS），
∴AF=DE，
∴∠DAF=∠CDE，
∵∠ADE+∠CDE=90°，
∴∠ADE+∠DAF=90°，
∴∠AGD=90°，
∴AF⊥DE；

（3）结论：四边形MNPQ是正方形
证明：∵AM=ME，AQ=QD，
∴MQ∥DE且MQ=1 2 DE，
同理可证：PN∥DE，PN=1′2 DE；MN∥AF，MN=1′2 AF；PQ∥AF，PQ=1′2 AF；
∵AF=DE，
∴MN=NP=PQ=QM，
∴四边形MNPQ是菱形，
又∵AF⊥DE，
∴∠MQP=∠QMN=∠MNP=∠NPQ=90°，
∴四边形MNPQ是正方形。点评：本题考查的是全等三角形的判定，正方形的判定以及正方形的性质，难度一般．

Answer 2

解：（1）∵DF=CE，AD=DC，且∠ADF=∠DCE，
∴△DEC≌△AFD；
∴结论①、②成立 （2）结论①、②仍然成立．理由为：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=DC=CB且∠ADC=∠DCB=90°，
在Rt△ADF和Rt△ECD中
AD=DC∠ADC=∠DCBCE=DF，
∴Rt△ADF≌Rt△ECD（SAS），
∴AF=DE，
∴∠DAF=∠CDE，
∵∠ADE+∠CDE=90°，
∴∠ADE+∠DAF=90°，
∴∠AGD=90°，
∴AF⊥DE；

（3）结论：四边形MNPQ是正方形
证明：∵AM=ME，AQ=QD，
∴MQ∥DE且MQ=12DE，
同理可证：PN∥DE，PN=12DE；MN∥AF，MN=12AF；PQ∥AF，PQ=12AF；
∵AF=DE，
∴MN=NP=PQ=QM，
∴四边形MNPQ是菱形， 又∵AF⊥ DE，
∴∠MQP=∠QMN=∠MNP=∠NPQ=90°，
∴四边形MNPQ是正方形．

Answer 3

∵正方形ABCD
∴CD=BC
∵E,F为BC,CD的中点
∴CE=DF
∵AD=CD
∠ADF=∠DCE
∴三角形ADF≌三角形DCE
∴AF=DE
②∵三角形ADF≌三角形DCE
∴∠DAF=∠CDE
∵∠CDE+∠ADE=90°
∠CDE+∠DEC=90°
∴∠ADE=∠DEC
∠DAG+∠GAD=90°
∴∠AGD=90°
∴AF⊥DE

Answer 4

(1)
∵AD=CD,DF=CE,∠D=∠C=90°
∴ΔADF与ΔDCE全等 (SAS性质)
故AF=DE
(2)
∵∠DAF=∠CDE, ∠ADG=∠CED, 又∠C=90°
∴∠AGD=90°
故AF⊥DE