求证(x1+x2+...xn)^2/2(x1^2+x2^2+.xn^2)
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由排序不等式,
x1^2+x2^2+...+xn^2>=x1x2+x2x3+...xn-1xn+xnx1
x1^2+x2^2+...+xn^2>=x1x3+x2x4+...xn-1x1+xnx2
两式相加得
2(x1^2+x2^2+...+xn^2)>=x1(x2+x3)+x2(x3+x4)+...+xn-1(xn+x1)+xn(x1+x2)
又因为由柯西不等式
[x1/(x2+x3)+x2/(x3+x4)+...+xn/(x1+x2)]*[x1(x2+x3)+x2(x3+x4)+...+xn(x1+x2)]
>=(x1+x2+...+xn)^2
所以
[x1/(x2+x3)+x2/(x3+x4)+...+xn/(x1+x2)]*2(x1^2+x2^2+...+xn^2)
>=(x1+x2+...+xn)^2
即
(x1+x2+...xn)^2/2(x1^2+x2^2+...+xn^2)
x1^2+x2^2+...+xn^2>=x1x2+x2x3+...xn-1xn+xnx1
x1^2+x2^2+...+xn^2>=x1x3+x2x4+...xn-1x1+xnx2
两式相加得
2(x1^2+x2^2+...+xn^2)>=x1(x2+x3)+x2(x3+x4)+...+xn-1(xn+x1)+xn(x1+x2)
又因为由柯西不等式
[x1/(x2+x3)+x2/(x3+x4)+...+xn/(x1+x2)]*[x1(x2+x3)+x2(x3+x4)+...+xn(x1+x2)]
>=(x1+x2+...+xn)^2
所以
[x1/(x2+x3)+x2/(x3+x4)+...+xn/(x1+x2)]*2(x1^2+x2^2+...+xn^2)
>=(x1+x2+...+xn)^2
即
(x1+x2+...xn)^2/2(x1^2+x2^2+...+xn^2)
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