Question

抛物线y=ax^2+bx+1与x轴交于两点A（-1,0），B（1,0），与y轴交于点c .(1)求抛物线的解析式； （2）过点B作

抛物线y=ax^2+bx+1与x轴交于两点A（-1,0），B（1,0），与y轴交于点c
.(1)求抛物线的解析式；
（2）过点B作BD‖CA与抛物线交于点D，求四边形ACBD的面积；
（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点M，过M作MN垂直于x轴于点N，使以A，M，N为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）把A,B两点代入解析式得a-b+1=0,a+b+1=0,所以b=0,a=-1。所以解析式为y=-x^2+1
(2)c点坐标为（0,1），直线AC的斜率k1=1，所以直线BD的斜率为1，利用直线的点斜式，设直线BD的解析式为y=x+m(m为待定系数)，把B点的坐标代入解析式得0=1+m，所以m=-1，所以直线BD的解析式为y=x-1;接下来求D点的坐标，已知D为直线BD与抛物线的交点，所以联立两个解析式，求得D（-2，-3）；讲四边形的面积分为两部分：三角形CAB,与三角形ABD的面积，前者的面积=1/2×AB×OC=1/2×2×1=1，后者的面积=1/2×AB×|D的纵坐标|=1/2×2×3=3，所以四边形ACBD的面积为1+3=4。
（3）由于直线BC的斜率为-1，正好与直线BD垂直，而三角形AMN中AN垂直MN，所以只要AN:MN=BC:BD或AN:MN=BD:BC，而BC长为根号2，BD长为根号18，所以，对于前一种情况，AN:MN=1/3，此时若设AN=n，MN=3n（n>0）,则此时M的坐标为（-1-n,-3n）或（-1+n,-3n）,代入解析式得:-3n=-(-1-n)^2+1或-3n=-(-1+n)^2+1，解出n=0,1,5，所以M点的坐标可能为（-1,0）（舍去，与A点重合），（-2，-3）（与D点重合），（-6，-15）；对于后一种情况，同样进行这种分析，设MN=n,AN=3n,M点坐标（-1-3n,-n）或（-1+3n，-n）,则代入解析式后得-n=-(-1-3n)^2+1或-n=-(-1+3n)^2+1,剩下自己就可以求出了

Answer 2

我的个妈妈 ，你初几啊 ？