Question

抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),点B(3,0)两点 （1）求该抛物线的解析式 （2）设（1）中的抛物线上有一

抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),点B(3,0)两点
（1）求该抛物线的解析式
（2）设（1）中的抛物线上有一动点P，当点P在抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=8，并求此时P点的坐标
（3）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标：若不存在，请说明理由

Answer 1

（1）抛物线y=x^+bx+c与x轴交于A（-1,0）B(3,0)两点,将A、B两点坐标代入抛物线方程，得到：
1-b+3=0
9+3b+c=0
解得：b=-2,c=-3
所以，该抛物线的解析式为：y=x^-2x-3

（2）要满足S△PAB=8，已知AB=4，而S△PAB=AB*Py/2
所以：AB*Py/2=8
===> Py=4，即P点纵坐标为4
===> x^-2x-3=4,或者x^-2x-3=-4
当x^-2x-3=4时，x=1+2√2或者x=1-2√2
当x^-2x-3=-4时，x=1
所以，P点坐标为(1+2√2，4)或(1-2√2，4)或(1，-4)

（3）
①由前面的计算可以得到，C(0,-3),且抛物线的对称轴为x=1
所以，令Q点坐标为Q(1，y)
那么，△QAC的周长=QA+QC+AC=(√y^+4)+[√1+(y+3)^]+√10
可以看出，要使得△QAC的周长最小，即只要保证(√y^+4)+[√1+(y+3)^]最小即可
令f(y)=(√y^+4)+[√1+(y+3)^],在f'(y)=0得到y=-2,此时f(y)有最小值，也即是△QAC的周长有最小值。
此时，Q点坐标为Q(1,-2)

②由①知，△QAC的三边分别为QA=√y^+4，QC=√1+(y+3)^，AC=√10
要使得△QAC为等腰三角形，则可能：QA=QC，或者QA=AC,或者QC=AC
当QA=QC，即√y^+4=√1+(y+3)^时，得到：
y=-1,
当QA=AC，即√y^+4=√10时，得到：
y=√6或者y=-√6
当QC=AC时，即√1+(y+3)^=√10时，得到：
y=0,或者y=-6
综上所述，当Q为以下几点(1，-1)或(1，√6)或(1，-√6)或(1，0)或(1，-6)时，△QAC为等腰三角形。

Answer 2

（1）y=x2-2x-3
（2）x=±根号2 +1和 x=1
（3）Q（1，-2） 关于对称轴做C的对称轴D，连接AD，两点之间直线最短，直线与对称轴的交点即为Q点