Question

如图,抛物线y=-x2+bx+c与X轴交于A(1,0)、B(-3,0)两点(1)求该抛物线的解析式（2）设（1）中的抛物线交y轴于

如图,抛物线y=-x2+bx+c与X轴交于A(1,0)、B(-3,0)两点
(1)求该抛物线的解析式
（2）设（1）中的抛物线交y轴于点C，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出点Q坐标，若不存在，请说明理由
（3）在第二象限的抛物线上是否存在一点P，是△PBC的面积最大？若存在，求出点P坐标及△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由

Answer 1

1
把A、B两点带入抛物线解析式
-1+b+c=0 -9-3b+c=0
解得 b=-2,c=3
该抛物线的解析式y=-x²-2x+3 ①
2
y=-x²-2x+3=-(x+1)²+4
∵y=0-0+3=3 ∴C点坐标为(0,3)
抛物线的对称轴为 x=-1
要△QAC的周长最小，即QC+QA最小，A点关于对称轴对称的点为B点，连接CB,CB和对称轴的交点即所求的Q点.(两点之间,线段最短)
BC的直线方程为 x/(-3)+y/3=1 (亦即y=3+x②) 代入横坐标=-1时,纵坐标解得为2
所以Q点坐标为(-1,2)
3
若要△PBC的面积最大，
则要P点到直线BC距离最大,作BC的平行线(②)y=x+m ③,当③与抛物线相切的时候,切点为所求P点.
联立①③得 x+m=-x²-2x+3
x²+3x+m-3=0
判别式Δ=9-4*(m-3)=0 (相切,只有一个切点,方程只有一个解)
解得m=21/4
直线③ y=x+21/4 ④
联立④①解得P为(-3/2,15/4)
点P到BC②的距离=|3-3/2-15/4 |/√2=9√2/8
BC=3√2
S△PBC=1/2*3√2*9√2/8=27/8