Question

二阶导数求导方法

Answer 1

dx、dy表示微分，可以拆开，对于参数方程，x=f(t)，y=g(t)，

对于参数方程，先求微分：dx=f'(t)dt，dy=g'(t)dt，

dy/dx=g'(t)/f'(t)，

而如果先消去参数，t=fˉ¹(x)，y=g(fˉ¹(x))

dy/dx=g'(fˉ¹(x))*fˉ¹'(x)=g'(fˉ¹(x))/f'(t)=g'(t)/f'(t)，是一样的。

而二阶导数，注意是d²y/dx²，把dy/dx看成是新的“y”，x还是等于f(t)，

所以应该这样：d(dy/dx)=[g'(t)/f'(t)]'dt=[g''(t)f'(t)-g'(t)f''(t)]/f'(t)² dt

dx=f'(t)dt

d²y/dx²=d(dy/dx)/dx=[g''(t)f'(t)-g'(t)f''(t)]/f'(t)³

函数y=f（x）的导数y‘=f’（x）仍然是x的函数，则y’=f’（x）的导数叫做函数y=f（x）的二阶导数。在图形上，它主要表现函数的凹凸性。

扩展资料：

如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)（即二阶导数）>0恒成立，那么对于区间I上的任意x,y，总有：

f(x)+f(y)≥2f[(x+y)/2]，如果总有f''(x)<0成立，那么上式的不等号反向。

几何的直观解释：如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)（即二阶导数）>0恒成立，那么在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段，这两点之间的函数图象都在该线段的下方，反之在该线段的上方。

结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于0，而二阶导数大于0时，为极小值点。当一阶导数等于0，而二阶导数小于0时，为极大值点；当一阶导数和二阶导数都等于0时，为驻点。

参考资料来源：百度百科——二阶导数