Question

已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交与A、B两点，与y轴交与点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴

已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交与A、B两点，与y轴交与点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB＜OC）是方程x²-10x+16=0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x=－2。
（1）求此抛物线的表达式
（2）连接AC、BC、，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E做EF//AC交与点F,连接CE,设AE的长为m，⊿CEF的面积为S,求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的基础上说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此点E的坐标，判断此时⊿BCE的形状;若不存在，请说明理由。

Answer 1

知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交与A、B两点，与y轴交与点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB＜OC）是方程x²-10x+16=0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x=－2。
（1）求此抛物线的表达式
（2）连接AC、BC、，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E做EF//AC交与点F,连接CE,设AE的长为m，⊿CEF的面积为S,求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的基础上说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此点E的坐标，判断此时⊿BCE的形状;若不存在，请说明理由。
解：（1）方程x²-10x+16=0
（x-2）（x-8）=0
x=2或x=8
那么OB=2，OC=8
点B的坐标为（2，0），点C（0，8）
设抛物线为y=a（x+2）²+b
代入
16a+b=0（1）
4a+b=8（2）
（1）-（2）
12a=-8
a=-2/3
b=32/3
抛物线方程为y=-2/3（x+2）²+32/3=-2/3x²-8/3x+8
（2）点A的坐标为（-6，0）关于x=-2和点B对称
点E的坐标为（m-6，0）
直线AC的斜率=8/6=4/3
那么EF的斜率=4/3
直线BC的方程为x/2+y/8=1
4x+y=8
设直线EF的方程为y=4/3x+b
将点E代入
0=4/3（m-6）+b
b=8-4/3m
直线EF的方程为y=4/3x+8-4/3m
与4x+y=8求出交点（m/4，8-m）
S△CEF=S△ABC-S△ACE-S△BFE
=1/2×8×8-1/2×m×8-1/2×（8-m）×（8-m）
=-1/2（m-8）²-4m+32
=-1/2m²+8m-32-4m+32
=-1/2m²+4m
0<m<8
（3）S=-1/2m²+4m=-1/2（m²-8m）=-1/2（m-4）²+8
此时m=4的时候S有最大值
S=8，此时点E的坐标（-2，0）
即为原来抛物线的对称轴上
△BCE是等腰三角形
OE=BE=2
OC垂直平分BE，所以△BCE是等腰三角形
参考一下，希望可以交流

Answer 2

知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交与A、B两点，与y轴交与点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB＜OC）是方程x²-10x+16=0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x=－2。
（1）求此抛物线的表达式
（2）连接AC、BC、，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E做EF//AC交与点F,连接CE,设AE的长为m，⊿CEF的面积为S,求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的基础上说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此点E的坐标，判断此时⊿BCE的形状;若不存在，请说明理由。
解：（1）方程x²-10x+16=0
（x-2）（x-8）=0
x=2或x=8
那么OB=2，OC=8
点B的坐标为（2，0），点C（0，8）
设抛物线为y=a（x+2）²+b
代入
16a+b=0（1）
4a+b=8（2）
（1）-（2）
12a=-8
a=-2/3
b=32/3
抛物线方程为y=-2/3（x+2）²+32/3=-2/3x²-8/3x+8
（2）点A的坐标为（-6，0）关于x=-2和点B对称
点E的坐标为（m-6，0）
直线AC的斜率=8/6=4/3
那么EF的斜率=4/3
直线BC的方程为x/2+y/8=1
4x+y=8
设直线EF的方程为y=4/3x+b
将点E代入
0=4/3（m-6）+b
b=8-4/3m
直线EF的方程为y=4/3x+8-4/3m
与4x+y=8求出交点（m/4，8-m）
S△CEF=S△ABC-S△ACE-S△BFE
=1/2×8×8-1/2×m×8-1/2×（8-m）×（8-m）
=-1/2（m-8）²-4m+32
=-1/2m²+8m-32-4m+32
=-1/2m²+4m
0<m<8
（3）S=-1/2m²+4m=-1/2（m²-8m）=-1/2（m-4）²+8
此时m=4的时候S有最大值
S=8，此时点E的坐标（-2，0）
即为原来抛物线的对称轴上
△BCE是等腰三角形
OE=BE=2
OC垂直平分BE，所以△BCE是等腰三角形
参考一下，希望可以交流
回答时

Answer 3

知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交与A、B两点，与y轴交与点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB＜OC）是方程x²-10x+16=0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x=－2。
（1）求此抛物线的表达式
（2）连接AC、BC、，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E做EF//AC交与点F,连接CE,设AE的长为m，⊿CEF的面积为S,求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的基础上说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此点E的坐标，判断此时⊿BCE的形状;若不存在，请说明理由。
解：（1）方程x²-10x+16=0
（x-2）（x-8）=0
x=2或x=8
那么OB=2，OC=8
点B的坐标为（2，0），点C（0，8）
设抛物线为y=a（x+2）²+b
代入
16a+b=0（1）
4a+b=8（2）
（1）-（2）
12a=-8
a=-2/3
b=32/3
抛物线方程为y=-2/3（x+2）²+32/3=-2/3x²-8/3x+8
（2）点A的坐标为（-6，0）关于x=-2和点B对称
点E的坐标为（m-6，0）
直线AC的斜率=8/6=4/3
那么EF的斜率=4/3
直线BC的方程为x/2+y/8=1
4x+y=8
设直线EF的方程为y=4/3x+b
将点E代入
0=4/3（m-6）+b
b=8-4/3m
直线EF的方程为y=4/3x+8-4/3m
与4x+y=8求出交点（m/4，8-m）
S△CEF=S△ABC-S△ACE-S△BFE
=1/2×8×8-1/2×m×8-1/2×（8-m）×（8-m）
=-1/2（m-8）²-4m+32
=-1/2m²+8m-32-4m+32
=-1/2m²+4m
0<m<8
（3）S=-1/2m²+4m=-1/2（m²-8m）=-1/2（m-4）²+8
此时m=4的时候S有最大值为8
此时点E的坐标（-2，0]
即为原来抛物线的对称轴上
△BCE是等腰三角形
OE=BE=2
OC垂直平分BE，所以△BCE是等腰三角形
??????

Answer 4

（x-2）（x-8）=0
x=2或x=8
那么OB=2，OC=8
点B的坐标为（2，0），点C（0，8）
设抛物线为y=a（x+2）²+b
代入
16a+b=0（1）
4a+b=8（2）
（1）-（2）
12a=-8
a=-2/3
b=32/3
抛物线方程为y=-2/3（x+2）²+32/3=-2/3x²-8/3x+8
（2）点A的坐标为（-6，0）关于x=-2和点B对称
点E的坐标为（m-6，0）
直线AC的斜率=8/6=4/3
那么EF的斜率=4/3
直线BC的方程为x/2+y/8=1
4x+y=8
设直线EF的方程为y=4/3x+b
将点E代入
0=4/3（m-6）+b
b=8-4/3m
直线EF的方程为y=4/3x+8-4/3m
与4x+y=8求出交点（m/4，8-m）
S△CEF=S△ABC-S△ACE-S△BFE
=1/2×8×8-1/2×m×8-1/2×（8-m）×（8-m）
=-1/2（m-8）²-4m+32
=-1/2m²+8m-32-4m+32
=-1/2m²+4m
0<m<8
（3）S=-1/2m²+4m=-1/2（m²-8m）=-1/2（m-4）²+8
此时m=4的时候S有最大值
S=8，此时点E的坐标（-2，0）
即为原来抛物线的对称轴上
△BCE是等腰三角形
OE=BE=2
OC垂直平分BE，所以△BCE是等腰三角形

Answer 5

解：（1）方程x²-10x+16=0
（x-2）（x-8）=0
x=2或x=8
那么OB=2，OC=8
点B的坐标为（2，0），点C（0，8）
设抛物线为y=a（x+2）²+b
代入
16a+b=0（1）
4a+b=8（2）
（1）-（2）
12a=-8
a=-2/3
b=32/3
抛物线方程为y=-2/3（x+2）²+32/3=-2/3x²-8/3x+8
（2）点A的坐标为（-6，0）关于x=-2和点B对称
点E的坐标为（m-6，0）
直线AC的斜率=8/6=4/3
那么EF的斜率=4/3
直线BC的方程为x/2+y/8=1
4x+y=8
设直线EF的方程为y=4/3x+b
将点E代入
0=4/3（m-6）+b
b=8-4/3m
直线EF的方程为y=4/3x+8-4/3m
与4x+y=8求出交点（m/4，8-m）
S△CEF=S△ABC-S△ACE-S△BFE
=1/2×8×8-1/2×m×8-1/2×（8-m）×（8-m）
=-1/2（m-8）²-4m+32
=-1/2m²+8m-32-4m+32
=-1/2m²+4m
0<m<8
（3）S=-1/2m²+4m=-1/2（m²-8m）=-1/2（m-4）²+8
此时m=4的时候S有最大值
S=8，此时点E的坐标（-2，0）
即为原来抛物线的对称轴上
△BCE是等腰三角形
OE=BE=2
OC垂直平分BE，所以△BCE是等腰三角形