Question

已知抛物线Y=ax²+bx+c与x轴交于A.B两点,与y轴交于点C,其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，

线段OB.OC的长（OB＜OC）是方程X²-10x+16=0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x=﹣2
（1）求A.B.C三点的坐标
（2）求此抛物线的表达式
（3）连接AC.BC 若点E是线段AB上的一个动点（与点A,B不重合）过E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围。

Answer 1

解：(1)因为抛物线Y=ax²+bx+c与x轴交于A.B两点,与y轴交于点C,其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上
设B（x1,0）C(0,c),A(x2,0)
OB=x1,OC=c
又因为线段OB.OC的长（OB＜OC）是方程X²-10x+16=0的两个根，
且抛物线的对称轴是直线x=﹣2
所以：OB+OC=10；OB*OC=16；-b/2a=-2
所以：x1+x2=-b/a=-4
解得:x1=2,c=8,x2=-6或者x1=8,c=2,x2=-12
得A(-6,0),B(2,0),C(0,8)或者A(-12,0),B(8,0),C(0,2)
(2)由（1）中得A,B,C,三点都在抛物线上，将三点带入得：
第一种:0=36a-6b+8,0=4a+2b+8,由两式
得a=-4/5,.b=-16/5,c=8
得方程：y=-4/5x^2-16/5x+8
第二种：144a-12b+2=0,64a+8b+2=0,
解得a=-1/48,b=-1/12.c=2
得方程：y=-1/48x^2-1/12x+2
(3)设：F（x3,y3）E(x1+m,0)
第一种S △CEF=S △CAE-S △FAE
得s=1/2AE*c - 1/2AE*y3
=1/2m*c - 1/2m*y3
由题意得：向量EF平行向量BC
向量EF=（x3-x1-m,y3）,向量BC=（-x1,c）
(x3-x1-m)/-x1=y3/c
所以：y3=-c(x3-x1-m)/x1带入
s=1/2m*c - 1/2m*y3
自己算有两种解

追问

今天老师上课的时候讲了。
不过还是狠谢谢你。
谢谢了。