Question

证明:不定方程x^2=y^5-4无整数解？

Answer 1

∵奇数的乘方是奇数、偶数的乘方是偶数,∴由原方程得：x、y的奇偶性相同.······①
一、当x、y都是偶数时,令x＝2a,y＝2b,其中a、b都是整数.
　　则原方程可变成：4a^2＝32b^5－4,∴a^2＝8b^5－1,∴a必为奇数.
　　令a＝2c＋1,其中c为整数.
　　则原方程可变成：（2c＋1）^2＝8b^5－1,∴4c^2＋4c＋1＝8b^5－1,
　　∴2c^2＋2c＝4b^5－1.这个方程的左边是偶数,右边是奇数,显然是错误的.
　　∴x、y不能同时为偶数.······②
二、当x、y都是奇数时,令x＝2A＋1,y＝2B＋1,其中A、B都是整数.
　　则原方程可变成：（2A＋1）^2＝（2B＋1）^3（2B＋1）^2－1,
　　∴4A^2＋4A＋1＝（2B＋1）^3（4B^2＋4B＋1）－1,
　　∴4A^2＋4A－4（B^2＋B）（2B＋1）^3＋2＝（2B＋1）^3.
　　这个方程的左边是偶数,右边是奇数,显然是错误的.
　　∴x、y不能同时为奇数.······③
由①、②、③,得：x、y不能为整数,∴原方程无整数解.,4,证明:不定方程x^2=y^5-4无整数解
证明要详细,看得懂的追加