Question

证明不定方程x2+y2-8z=6无整数解．？

Answer 1

解题思路：假设存在整数解，即存在正数a，b，c满足方程x 2+y 2-8z=6，a 2+b 2=8c+6=2（4c+3），则a 2，b 2奇偶性相同即a，b奇偶性相同，再分别根据a，b都是偶数和a，b都是奇数两种情况讨论即可．
假设存在整数解，即存在正数a，b，c满足方程x2+y2-8z=6．
则：a2+b2=8c+6=2（4c+3），
于是，a2，b2奇偶性相同即a，b奇偶性相同，
（1）a，b都是偶数，于是存在整数，m，n使得：a=2m，b=2n．
则：a2+b2=4m2+4n2=2（4c+3），
则：2（m2+n2）=4c+3，即：一个奇数等于另一个偶数，矛盾；
（2）a，b都是奇数，于是存在整数，m，n使得：a=2m-1，b=2n-1．
则：a2+b2=4m2-4m+1+4n2-4n+1=4[m（m-1）+n（n-1）]+2=8c+6
则：m（m-1）+n（n-1）=2c+1．
由m，m-1使相邻整数，n，n-1是相邻整数，则：m，m-1必有一个是偶数，n，n-1必有一个是偶数．于是：m（m-1）+n（n-1）是偶数，而2c+1是奇数，此等式不成立，矛盾．
综上所述：假设不成立，即方程x2+y2-8z=6没有整数解．
,7,x^2 + y^2 = 6 + 8z = 2(3 + 4 z)
假设存在整数解, 等式右端为偶数, 所以 x^2+y^2为偶数, x,y 均为偶数, x=2m, y=2n
那么x^2+y^2= 4(m^2+n^2) = 2 (3+4z)
3+4z = 2(m^2+n^2)
左边奇数右边偶数矛盾,2,