Question

高一函数题 分类讨论

已知函数f(x)＝1-1/x (x>=1)
1/x-1 (0<x<1)．
若存在正实数a、b(a<b) ，使得函数y=f(x)的定义域是[a、b]时，值域为[ma、mb](m≠0)，求实数m的取值范围．
标准解：
若存在正实数a、b(a<b)满足f(x)定义域是[a、b]，值域为[ma、mb](m≠0)，
易得m＞0．
(i)当a、b∈(0，1)时，∵f(x)在(0，1)上为减函数，∴1/a-1=mb①,1/b-1=ma②
由此推得a＝b，与已知矛盾，故此时不存在正实数a、b(a＜b)满足条件．
(ii)当a、b∈[1，＋∞)时，∵f(x)在[1，+∞)上为增函数，∴1-1/a=ma③,1-1/b=mb④
于是a、b为方程mx²－x＋1＝0的两个不等的正实数根．
∴ 只须Δ>0,f(1)>0,1/(2m)>1 解得0＜m＜1/4，所以m的取值范围为0＜m＜1/4 ．
(iii)当a∈(0，1)，b∈[1，＋∞)时，显然1∈[a，b]，而ma=f(1)＝0且m>0，
∴0∈[a，b]，矛盾

我的理解：①-②可得，mab=1,∵a、b∈(0，1)，∴m=1/(ab)>1
③-④可得，mab=1,∵a、b∈[1，＋∞)，∴m=1/(ab),∴m∈（0,1）
怎么会这样，求高手解释！！！
我的意思是为什么不能这样啊，为什么会出现这种情况？
①-②得：（b-a)/ab=m(b-a)，mab=1。这个要加上什么约束条件啊？加上之后怎么推出错误啊？？

Answer 1

①-②得：（b-a)/ab=m(b-a)，此时只有a≠b时才有mab=1。若mab=1，①式1/a-1=mb=1/a，②式同理，显然不会成立。
标准解中：当a≠0，b≠0时，①式得1-a=mab，②式得1-b=mab，所以有a=b。

③-④得mab=1没问题。但无法从ab>1推出 m∈（0,1），因为a、b为方程mx²－x＋1＝0的两个不等的正实数根，对a、b的取值有约束。
从Δ>0能推出m＜1/4 。