Question

双曲线的简单几何性质。高二数学题，详细过程，谢谢了。~~急需。

已知双曲线y2/12-x2/13=1的上支有不同的三点A（x1，y1），B（√26,6）C（x2，y2）到焦点F(0,5)距离成等差数列，求y1+y2的值。

Answer 1

焦点F对应的准线l为y=a²/c=12/5

设A、B、C三点到准线l的距离分别是：d1、d2、d3，那么根据双曲线第二定义，有：

|AF|/d1=|BF|/d2=|CF|/d3=e

∴|AF|=d1*e，|BF|=d2*e，|CF|=d3*e

∵|AF|、|BF|、|CF|成等差数列，所以：

∴|BF|-|AF|=|CF||-|BF|，即：|AF|+|CF|=2|BF|

∴d1*e+d3*e=2d2*e

∴d1+d3=2d2

∵A(x1，y1)，B(√26，6)，C(x2，y2)并且准线方程为：y=12/5

∴d1=y1-12/5，d2=6-12/5，d3=y2-12/5

由：d1+d3=2d2可得：

(y1-12/5)+(y2-12/5)=2*(6-12/5)

∴y1+y2=12

手工计算，错了轻拍~

Answer 2

这是由双曲线第二定义做的。双曲线第二定义在你们书上以例题的形式出现，是一道求轨迹方程的题。
A（x1，y1），B（√26,6）C（x2，y2）到焦点F(0,5)距离成等差数列，则这三点到双曲线的上冷准线的距离也成等差数列。由双曲线方程知，上准备线为12/5，则（y1-12/5）+（y3-12/5）=2（6-12/5），则得，y1+y2=12