Question

问两道关于高二圆锥曲线的数学问题

双曲线渐近线为x+2y=0和x-2y=0，且双曲线上动点P到定点A（5，0）的最短距离为3，求双曲线方程。
PS：在焦点在x轴上时，需说明为什么顶点是到A距离最短的点

Answer 1

解：设P（m，n）
双曲线方程为x²/4-y²=k
∴m²/4-n²=k
PA²=（m-5）²-n²=5/4（m-4）²+5-k
∵PA最短为3
①当P在y轴上，则k＜0，则m=4时PA²最小为9
∴5-k=9
∴k=-4
∴抛物线方程为y²/4-x²/16=1
②当P在x轴上，则k＞0，
当双曲线与x轴的交点横坐标小于4时，PA²最小值为5-k＜5
∴双曲线与x轴交点横坐标一定大于4，
当双曲线与x轴交点横坐标大于4小于5，则PA²最小值小于1.
∴双曲线与x交点横坐标大于5，∴PA²最小值为P在顶点时取得。
∴a-5=3，∴a=8
∴k=16
∴抛物线方程为x²/64-y²/16=1

Answer 2

高二数学期末复习（3）－圆锥曲线

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