Question

高二数学圆锥曲线

如图,椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点分别是F1、F2,M、N是椭圆右准线上的两个动点，且向量F1M*向量F2N=0 （1）向量OM*向量ON为定值（2）设椭圆离心率为1/2，MN的最小值为2根号15，求椭圆方程

Answer 1

刚好我正在做圆锥曲线……

解：（1）证明：设M座标为（a^2/c,y1) N座标为(a^2/c,y^2)，又向量F1M*向量F2N=0即F1M垂直于F2N，则有y1/(a^2/c+c)・y2/(a^2/c-c)=-1,即 y1・y2=(c^4-a^4)/c^2 （①式） 根据余弦定理有CosMON=(MO2+NO2-MN2)/(2MO*NO) 所以向量OM*向量ON=MO*NO*CosMON=(MO2+NO2-MN2)/2 将①式代入得向量OM*向量ON=[y1^2+a^4/c^2+y2^2+a^4/c^2-(y^1-y^2)^2]/2=[2a^4/c^2+(2c^4-2a^4)/c^2]/2=c^2

（2）解：根据题意有y1-y2大於等於2倍根号15，又根据①式并代入离心率有y1・y2=-15a^2/4 （②），因为y1大於0，-y2大於0，根据均值不等式并代入②式有y1-y2=y1+(-y2)大於等於2倍根号(y1・y2)=a*根号15，故a*根号15=2倍根号15，解得a=2,c=1,b=根号3，则有椭圆方程为 x2/4+y2/3=1

答：（2）x^2/4+y^2/3=1

打得手都软了 记得给我加分哦！

Answer 2

这个题应该是一个压轴题了.20分的悬赏太少了.我看没多少人会帮你想的...只有我这些数学傻子才会奋斗到这个时候来帮你解决这个题了.呵呵.别误会我不是为了20分.而是觉得这个题真的出得很好很好...
第(1)问第一个题非常简单,得出b=1后用a.b.c关系一解方程就搞定了,上面那为仁兄也帮你算了.我应该感谢他.因为我不用在这演算一遍.
第二个,设直线L1:y=k(x-2),代入椭圆方程,化简,得出一个关于x的二次方程(5k^2+1)x^2-20k^2x+(20k^2-5)=0,于是可以求出x1+x2以及x1x2的值..然后下一步是本题的核心:共线向量的比值等于它们在x轴的射影的比值,所以把两个向量的横坐标相除,即能表示出它们的比值λ1和λ2,设A(x1,y1)B(x2,y2),M(0,y3)F(2,0)即λ1=(向量MA)/(向量AF)=(向量MA的横坐标)/(向量AF的横坐标)=x1/(2-x1),同理(这里用同理在考试中可节省时间),λ2=x2/(2-x2),把它们俩相加,化简,得到:λ1+λ2=(2x1+2x2-2x1x2)/(x1x2-2x1-2x2+4),把先前求出的x1+x2以及x1x2的值代入,化简,约分,得到λ1+λ2=-10,为定值.
第(2)问.由于它们两条过原点的直线垂直,所以我们可以设斜率分别k和-1/k,即y=kx和y=-1/kx,再设P(x1,y1)Q(x2,y2).首先,我们把y=kx代入椭圆方程,解出x1^2和y1^2,加起来把|OP|^2求出来,是含k的式子,然后,这里为了节省时间,我们可以把k换成-1/k代入这个式子,求可以用k表示|OQ|^2,考虑到在直角三角形中,d是斜边上的高,所以有1/d=|PQ|/|OP||OQ|,不妨把这个式子平方,再用勾股定理,可以化成1/d^2=(|OP|^2+|OQ|^2)/(|OP|^2|OQ|^2)=1/|OP|^2+1/|OQ|^2,到这里把前面所算的|OP|^2和|OQ|^2代入进来,化简,约去k,得出等于(a^2+b^2)/(a^2b^2),所以d=根号下(a^2b^2)/(a^2+b^2)
一道压轴题就这样搞定了,我写了好多东西,其实很多是我的解题思路,在考卷上是不用写的.我把这道题的解答过程再简单整理一下
(1)①用a.b.c三者关系解方程求出x^2/5+y^2=1.
②
1.设k,联立椭圆方程求出关于x的二次方程
2.用韦达定理用k表示x1+x2和x1x2
3.运用x1+x2和x1x2表示出λ1+λ2的值
4.代入k值,约去k值,得出结果
(2)
1.根据垂直,设两方程斜率k和-1/k
2.求出|OP|和|OQ|长度,用k表示
3.运用面积相等列出d与OP,OQ和PQ的关系式
4.运用勾股定理,用OP和OQ表示出d
5.代入k值,化简,约去k值,得出结果
好了...大功告成!!!这题确实是一个好题!!!我已经把它抄在积累本上了...!!其实我也是高二的,多多指教!!

Answer 3

y=k(x+1)联立椭圆方程
把y=k(x+1)代进去
化简成关于x的二次方程
用韦达定理x1+x2=
x1x2=
代
|AB|=（根号1+k平方）乘以|x1-X2|
其中|x1-x2|=根号(x1+x2)^2-4x1x2
自己解咯…

Answer 4

(1)向量F1M*向量F1N=(a^2/c^2+c)^2+y1y2=0
y1y2=-(a^2/c^2+c)^2
向量OM*向量ON=x1x2+y1y2=a^4/c^2-(a^2/c^2+c)^2定值
（2）e=c/a=1/2
y1y2=-(a^2/c^2+c)^2=5/2*c^2
|MN|min^2=(y1-y2)^2=-4y1y2=4*5/2*c^2=10c^2=60
c^2=6
椭圆方程是x^2/24+y^2/18=1

Answer 5

当斜率不存在时，设直线方程为y=m
这个好算不详细说了
当斜率存在
设直线方程为
y=k(x-1)
代入椭圆的方程
然后E点是MN的三等分点
然后
1/3（x1+x2）=-1
或者
2/3（x1+x2）=-1
x1+x2就是韦达定理得出的
方法是这样，楼主要的是方法我就不算了
睡觉啦