Question

如何用二次函数求三角形的最大面积

如图，在平面执教坐标系中，点B的坐标为（—3，—4），线段OB绕原点逆时针旋转后与X轴的正半轴重合，点B的对应点为点A

1、写出点A的坐标，并求处经过A、O【圆心】、B三点的抛物线的解析式
2、如果点P是抛物线上的一个动点，且在X轴的上方，当点P运动到什么位置的时，三角形PAB的面积最大？求出此时点P的坐标，和三角形PAB的最大面积

PS：：第一个问我把A、B两点带入Y=ax²+bx后解不出来，怎么解啊？

特别是第二个问，怎么做啊

Answer 1

1.AO=BO=√(3^2+4^2)=5,而点A在X轴上,故点A坐标为(5,0)
A(5,0),B(-3,-4),O(0,0)
抛物线过原点,那么可以设为 y=ax^2+bx
带入A,B点坐标,得到
0=25a+5b b=-5a
-4=9a-3b -4=9a+15a=24a
解得a=-1/6,b=5/6
抛物线方程为 y=(-1/6)x^2+(5/6)x

2.第二题换个角度看,设PB交X轴于点C,
那么三角形PAB的面积其实就是三角形PCA与三角形BCA的面积之和
而这两个三角形同底,底边都是AC,故面积之和就是高之和*AC*1/2
设P点坐标为(t,(-1/6)t^2+(5/6)t) 注:因为P点在抛物线上,肯定满足这个形式
那么PB的直线斜率为[(-1/6)t^2+(5/6)t+4]/(t+3)
直线方程为 y+4={[(-1/6)t^2+(5/6)t+4]/(t+3)}(x+3)
直线与X周交点C的横坐标为 4={[(-1/6)t^2+(5/6)t+4]/(t+3)}(x+3)
x=4(t+3)/[(-1/6)t^2+(5/6)t+4]-3
故AC=5-4(t+3)/[(-1/6)t^2+(5/6)t+4]+3=8-4(t+3)/[(-1/6)t^2+(5/6)t+4]
高之和为 (-1/6)t^2+(5/6)t+4
面积=(1/2)[(-1/6)t^2+(5/6)t+4]{8-4(t+3)/[(-1/6)t^2+(5/6)t+4]}
=(1/2){8[(-1/6)t^2+(5/6)t+4]-4(t+3)}
=2{2[(-1/6)t^2+(5/6)t+4]-(t+3)}
=(-2/3)[(t-1)^2-16]
最大值为t=1时,Smax=32/3,此时P的坐标为(1,2/3)

Answer 2

前面解方程就不说了。第二题可以求AB直线方程，在设P(X,Y)满足抛物线方程，且P点到AB的距离最大就行了，即可求出P 点

Answer 3

通常用二次函数中的特定点用代数把三角形面积表达出来，这个式子通常为二次函数，求其顶点即求出结果，具体方法还要看题

Answer 4

哥，我还没学二次函数呢，饶了我吧