Question

牛顿-莱布尼茨公式的证明

Answer 1

若函数f(x)在[a,b]上连续，且存在原函数F(x)，则f(x)在[a,b]上可积，且
b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F(b)-F(a)
这即为牛顿—莱布尼茨公式。
牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。下面就是该公式的证明全过程：
编辑本段对函数f(x)于区间[a,b]上的定积分表达为：
b∫a*f(x)dx
现在我们把积分区间的上限作为一个变量，这样我们就定义了一个新的函数：
Φ(x)=
x∫a*f(x)dx
但是这里x出现了两种意义，一是表示积分上限，二是表示被积函数的自变量，但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的。为了只表示积分上限的变动，我们把被积函数的自变量改成别的字母如t，这样意义就非常清楚了：
Φ(x)=
x∫a*f(t)dt
编辑本段研究这个函数Φ(x）的性质：
1、定义函数Φ(x)=
x(上限)∫a（下限）f(t)dt，则Φ
与格林公式和高斯公式的联系
’(x)=f(x)。
证明：让函数Φ(x)获得增量Δx，则对应的函数增量
ΔΦ=Φ(x+Δx)-Φ(x)=x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt
显然，x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt
而ΔΦ=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt=f(ξ)•Δx(ξ在x与x+Δx之间，可由定积分中的中值定理推得，
也可自己画个图，几何意义是非常清楚的。)
当Δx趋向于0也就是ΔΦ趋向于0时，ξ趋向于x，f(ξ)趋向于f(x)，故有lim
Δx→0
ΔΦ/Δx=f(x)
可见这也是导数的定义,所以最后得出Φ’(x)=f(x)。
2、b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F（b）-F（a），F（x）是f(x)的原函数。
证明：我们已证得Φ’(x)=f(x)，故Φ(x）+C=F（x）
但Φ(a)=0（积分区间变为[a,a]，故面积为0），所以F（a）=C
于是有Φ(x）+F（a）=F（x），当x=b时，Φ(b)=F（b)-F(a),
而Φ(b)=b(上限)∫a（下限）f(t)dt，所以b(上限)∫a（下限）f(t)dt=F（b)-F(a)
把t再写成x，就变成了开头的公式，该公式就是牛顿-莱布尼茨公式。
例子：求由∫（下限为2，上限为y）e^tdt+∫（下限为o，上限为x）costdt=0所确定的隐函数y对x的导数dy/dx
求1,∫（下限为-1，上限为1）(x-1)^3dx
2,
求由∫（下限为0，上限为5）|1-x|dx
3,求由∫（下限为-2，上限为2）x√x^2dx
解答：
e^(y)-e^(2)+sin(x)=0,y=ln(e^(2)-sin(x)),dy/dx=-cos(x)/(e^(2)-sin(x).
1).(x-1)^4/4|(-1,1)=(1-1))^4/4-(-1-1))^4/4=-4;
2).∫（下限为0，上限为5）|1-x|dx=-∫（下限为0，上限为1）x-1dx+
∫（下限为1，上限为5）x-1dx=-(x-1)^2/2|(0,1)+(x-1)^2/2|(1,5)=17/2;
x√x^2是奇函数，所以∫（下限为-2，上限为2）x√x^2dx=0