Question

设A为正交阵，且〔A〕=-1，证明b=-1是A的特征值

Answer 1

A正交，则A的特征值的模是1又detA=－1=所有特征值的乘积，共轭复特征值成对出现所以必有特征值是－1。

设A的特征值为λ，有Aα=λα(α≠0)，(A^T)A=E

等式左边乘于A的转置A^T，右边乘于α^T，得α(α^T)=λ(A^T)α(α^T)，取行列式得：

|α(α^T)|=λ|(A^T)||α(α^T)|，又|A^T|=detA=-1，故λ=-1

方阵A为正交阵的充分必要条件是A的行向量或列向量是标准正交向量。

扩展资料

1、正交矩阵一定是对实矩阵而言的。

2、正交矩阵不一定对称，也不一定可以对角化。

3、正交矩阵的特征值为正负1或者cos(t)+isin(t)，换句话说特征值的模长为1。

4、正交矩阵的行列式肯定是正负1，正1是叫第一类，负1时叫第二类。

5、对称的正交矩阵不一定是对角的，只是满足A'=A=A^{-1}，例如副对角线全为1，其余元素都为零的那个方阵就是这种类型。

6、正交矩阵乘正交矩阵还是正交矩阵，但是正交矩阵相加相减不一定还是正交矩阵。

7、正交矩阵的每一个行(列)向量都是模为1的，并且任意两个行(列)向量是正交的，即所有的行(列)向量组成R^n的一组标准正交基。

8、正交矩阵每个元素绝对值都小于等于1，如果有一个元素为1，那么这个元素所在的行列的其余元素一定都为零。

9、一个对称矩阵，如果它的特征值都为1或者-1，那么这个矩阵一定是对称的正交矩阵。

10、如果b是一个n维单位实列向量，则E_n-2bb'是一个对称正交矩阵.因为E_n-2bb'的特征值为1(n-1重)，-1(1重)，同时还是一个对阵矩阵。

参考资料来源：百度百科-正交矩阵