Question

圆的问题

如图 AB BC CD分别与圆O切于E F G 且AB平行CD 连接OB OC 延长co交于点M 过点M做MN平行OB交CD于N
1求证 MN是圆O切线
2当OB=6cm OC=8cm 时 求圆O的半径及MN的长

Answer 1

解： （1）∵AB ‖ CD
∴ ∠ABC + ∠BCD = 180°
∴ 1/2∠ABC + 1/2∠BCD = 180°× 1/2 = 90°
∵ AB BC CD分别与圆O相切
∴ ∠OBC = 1/2 ∠ABC
∠OCB = 1/2 ∠BCD
∴（∠OBC + ∠OCB ）= 1/2 ∠ABC + 1/2 ∠BCD = 90°
∴ ∠BOC = 90°

∵ MN ‖ OB
∴ 内错角相等即 ∠NMC = ∠BOC = 90°
∴ MN 垂直于 过圆上M点的半径OM
∴ MN是圆O切线

（2）在Rt△BOC 中，OB=6cm OC=8cm
∴ 由勾股定理 求得 BC = 10cm
连OF 因BC与圆O切于F
∴ OF ⊥ BC
求圆O的半径 利用面积法
∵ S△BOC = 1/2 × BC × OF = 1/2 × OC × OB
∴ 半径 OF =（ OB × OC ）÷ BC
= 6 × 8 ÷ 10
= 4.8 cm

∴ OM = OF = 4.8
∴ MC = OM + OC
= 4.8 + 8
= 12.8 cm

在Rt△NMC 与 Rt△BOC 中
∠NMC = ∠BOC
∠MCN = ∠OCB
∴ Rt△NMC ∽ Rt△BOC
∴ NM / BO = MC / OC
∴ NM / 6 = 12.8 / 8
∴ NM = 9.6 cm

本题中牵涉的重要知识点：
1 常利用等面积法求相切时圆的半径
2 切线的证明，请您牢固掌握 经过半径的外端且垂直于半径
3 求或证线段长的问题，常用到相似、全等、勾股定理、解三角形、比例法等。

祝您学习顺利！

Answer 2

大爱BB呼呼，你好：

1,连OF,则OF⊥BC
∵AB‖CD
∴∠ABC+∠BCD=180°
∵AB BC CD分别与圆O切于E F G
∴∠ABO=∠CBO=1/2∠ABC, ∠BCO=∠DCO=1/2∠BCD
∴∠CBO+∠OCB=90°
∴∠BOC=90°
∵MN‖OB
∴∠NMO=∠MOB=90°
∴MN是圆O的切线

2.∵∠BOC=90°
∴BC=√36+64=10.
∵△OBF∽△CBO
∵OF*BC=OB*OC
∴半径OF=48/10=4.8

∵∠FCO=∠NCM, ∠OFC=∠NMC
∴△CMN∽△COF
∵NM,NG均是圆O的切线
∴NM=NG
设NM=NG=X, 由△CMN∽△COF 得MN:OF=CN:CF
又CG=CF=√OC^2-OF^2=6.4
∴CN=6.4+X
故:X:4.8=(6.4+X):6.4
得MN=X=19.2cm

Answer 3

因为 AB BC 分别与圆O切于E F 所以OB平分角ABC
同理 OC平分角BCD
因为 AB平行CD
所以 角ABC+角BCD=180°
所以∠OBC+∠OCB=90°
所以∠BOC=90° 所以∠MOB=90°
因为MN‖OB 所以∠MOB=∠NMC=90°
所以CM⊥MN 因为OM是圆半径 所以是MN是切线

第二问:
△OBC是直角三角形 ∴BC=10（勾股定理）
连接OF 利用面积相等得 OC*OB=BC*OF 所以半径OF=4.8 同样方法求MN