Question

已知C,p，m都是常数，求解微分方程：dv/dt=g- (CpAv^2)/m 求出速度v的表达式，以及高度h（好）的表达式

Answer 1

分离变量dt=( 1/( g- (CpAv^2)/m ) ) dv
积分得t=∫( 1/( g- (CpAv^2)/m ) ) dv =∫( 1/[( √g- √(CpA/m)·v) · ( √g+ √(CpA/m)·v)] ) ) dv
=(1/(2√g))·∫[ 1/( √g- √(CpA/m)·v) + 1/( √g+ √(CpA/m)·v) ]dv
=(1/2)/(√(m/(gCpA)))·ln[ ( √g+ √(CpA/m)·v)/( √g- √(CpA/m)·v) ]
这得到的是t(v).
如果需要的话可以通过求反函数得到v(t)

dh=vdt=( v/( g- (CpAv^2)/m ) ) dv 【参见我写的第一行】
→h= ∫( v/( g- (CpAv^2)/m ) ) dv
=(1/2)∫( 1/( g- (CpAv^2)/m ) ) dv^2
=(m/(2CpA))·∫( 1/( g- (CpAv^2)/m ) ) d((CpAv^2)/m)
=(-m/(2CpA))·∫( 1/( g- (CpAv^2)/m ) ) d(g-(CpAv^2)/m)
=(-m/(2CpA))·ln|g- (CpAv^2)/m|
如果需要用t来表达，则将上面求出的v(t)代入即可