Question

已知数列{㏒2（an－1）}是等差数列且a1=3 a2=5 ①求证：数列{(an-1)}是等比数列②求{(an-1)}的通项公式

③求(1／a2-a1)+(1／a3-a2)+(1／a4-a3)+…+[1/(an＋1)-an]
希望能详解 谢谢了 而且很急 谢谢

Answer 1

解：①设等差数列{㏒2（an－1）}的通项为bn，公差为d
由题意知：b1=㏒2（a1－1）=1，b2=㏒2（a2－1）=2
∴d=b2-b1=1，
∴bn=b1+d（n-1）=n
即㏒2（an－1）=n
∴an-1=2^n
设cn=an-1
∴数列{(an-1)}是以首项为c1=2，公比为2的等比数列

② 由①知，{(an-1)}的通项公式为cn=an-1=2^n

③ 由①知，an=2^n+1
∴1/[(an＋1)-an]=1/{[2^(n+1)+1]-(2^n+1)]}=1/2^n
∴原式=[1/(a2-a1)]+[1/(a3-a2)]+[1/(a4-a3)]+…+{1/[(an＋1)-an]}
=(1/2)+(1/2^2)+(1/2^3)+...+(1/2^n)
=[(1/2)-1/2^(n+1)]／(1/2)
=1-(1/2^n)

Answer 2

既然{log2(an-1)}是等差数列,那么就有如下:
2log2(an-1=log2(an) -log2(an-2)
转化为指数即:
(an-1)^2=(an/(an-1))^(1/2)
亦:
an/(an-1)=(an-1)/(an-2)
上面关系就已经是等比数列的定义了(根据定义定理证明)
后续就简单了,a1=3,a2=5带入上面并设q为等比值,an=a1*q^(n-1)
可求出q=3^(1/2)
后面的3自己做了(拆分为两个等比数列前n项求和后相减),怀念高中生活啊....

Answer 3

(1)log2(a1-1)+d=log2(a2-1)
1+d=2
d=1
(2)([an+1]-1)/(an-1)=4/2=2
所以an-1为等比数列
an-1=2*2^(n-1)
(3)裂项法
则1/a2-1/a1=(-1/2)[1/5-1/3]
后面一样
(-1/2)[-1/3+1/(an+1)]=1/6-1/[2(an+1)]