Question

在平面四边形ABCD中，AB=BC=CD=a，∠B＝90°，∠C＝135°沿对角AC将四边形折成直二面角，

在平面四边形ABCD中，AB=BC=CD=a，∠B＝90°，∠C＝135°沿对角AC将四边形折成直二面角，
(1)求证：AB⊥平面BCD
(2)求点C的到平面ABD的距离（用等积法

Answer 1

1）。∵∠C＝135° ∴∠ACD=90°
又∵沿对角AC将四边形折成直二面角
∴CD⊥面ABC
∴CD⊥AB
又∵∠B＝90° 即AB⊥BC
∴AB⊥平面BCD
2）.∵∠B＝90° ∴AC=√（AB²+BC²）=√2 a
由1）知CD⊥面ABC， ∴∠BCD=∠ACD=90°
∴BD=√（BC²+CD²）=√2 a AD=√（AC²+CD²）=√3 a
∵AB²+BD²=a²+（√2 a ）²=（√3 a ）²=AD²
∴BD⊥AB
设点C的到平面ABD的距离为h
∴面积△ABD*h=面积BCD*AB
即1/2AB*BD*h=1/2BC*CD*AB
解得h=（√2 /2）a

Answer 2

（1）AB=BC=a，∠B＝90°，
∴∠ACB=45°，
又∠BCD=135°，
∴∠ACD=90°。
∵二面角B-AC-D是直二面角，
∴DC⊥平面ABC,
∴AB⊥DC,又AB⊥BC,
∴AB⊥平面BCD.
(2)易知AB⊥BD,BD=a√2，
∴S△ABD=AB*BD/2=a^2*（√2）/2，
设点C的到平面ABD的距离为h,则
则V(C-ABD)=V(A-BCD),
∴ha^2*(√2）/6=a^3/6,
∴h=a(√2）/2，为所求。

Answer 3

解：1、∵∠B＝90°，AB=BC
∴∠BCA=45°
而∠C＝135°
∴∠ACD＝90°即DC⊥AC
又∵面ACD⊥面ABC
∴DC⊥面ABC
DC⊥AB
而AB⊥BC
∴AB⊥面BCD
2、从C画一直线垂直于面ABD，交于E
∵DC⊥面ABC，AB=BC=CD=a
∴四面体ABCD体积为1/2AB*BC*CD=1/2a3，BD=√2a
∴面ABD面积为√2/2a2
∴CE=√2/2a