Question

在平行四边形ABCD中，已知AB=CD=a,AD=2a,∠DAB=60°,AC∩BD=E,将其沿对角线BD折成直二面角。证明1）AB⊥平

在平行四边形ABCD中，已知AB=CD=a,AD=2a,∠DAB=60°,AC∩BD=E,将其沿对角线BD折成直二面角。证明1）AB⊥平面BCD；2）平面ACD⊥平面ABD

Answer 1

取BC中点M、AB中点N，连结NB、DM，

AN=AD/2=a,AN=AB,

<NAB=60°，

∴ △BAN是正△，AN=BN，

同理CD=DM，

∴四边形BNDM是菱形，

MN是菱形对角线，

∴BD⊥MN，

∴〈MEN是二面角A-BD-C的平面角，

∴〈MEN=90°，

∵NE⊥BD，

∴NE⊥平面BCD，

∵NE是△DAB的中位线，

∴AB//NE，

∴AB⊥ 平面BCD。

2、同上理，∵ME是△BCD中位线，

∴EM//CD，

∵EM⊥BD，

∴C⊥BD，

由前所述，平面BCD⊥平面ABD，

∴CD⊥平面ABD，

∵CD∈平面ACD，

∴平面ACD⊥平面ABD。

Answer 2

取BC中点M、AB中点N，连结NB、DM，
AN=AD/2=a,AN=AB,
<NAB=60°，
∴ △BAN是正△，AN=BN，
同理CD=DM，
∴四边形BNDM是菱形，
MN是菱形对角线，
∴BD⊥MN，
∴〈MEN是二面角A-BD-C的平面角，
∴〈MEN=90°，
∵NE⊥BD，
∴NE⊥平面BCD，
∵NE是△DAB的中位线，
∴AB//NE，
∴AB⊥ 平面BCD。
2、同上理，∵ME是△BCD中位线，
∴EM//CD，
∵EM⊥BD，
∴C⊥BD，
由前所述，平面BCD⊥平面ABD，
∴CD⊥平面ABD，
∵CD∈平面ACD，
∴平面ACD⊥平面ABD。

Answer 3

图片