Question

交轨法求轨迹问题。求教数学达人

A是圆x^2+y^2=r^2(r>0)上任意一点AB垂直x轴与B，以A为圆心|AB|为半径的圆交以知圆于CD两点连接CD交AB于M当A在圆上运动时求M轨迹方程。
（求两圆公共弦方程最快为连立2个圆的方程消掉所有二次项）
回答尽量详细点。有图我加分。谢谢

Answer 1

设A点坐标为(Xa,Ya)，M点坐标为(Xm,Ym)
以A为圆心|AB|为半径的圆的方程为(x-Xa)^2+(y-Ya)^2=AB^2
∵AB垂直x轴与B
∴AB^2=Ya^2
将2个圆方程联立，消去二次项得到公共弦CD的方程为
(-2Xa)*x+(-2Ya)y+Xa^2+Ya^2+r^2=Ya^2
∵A是圆x^2+y^2=r^2(r>0)上任意一点
∴Xa^2+Ya^2=r^2
CD方程化简为(2Xa)*x+(2Ya)y=2r^2-Ya^2
AB的方程为x=Xa
解上面2个联立方程求出AB与CD的交点M的坐标
Xm=Xa,Ym=Ya/2
∵Xa^2+Ya^2=r^2
∴Xm^2+(2Ym)^2=r^2
M轨迹方程为Xm^2+4Ym^2=r^2