Question

已知a,b,c,d为实数，ad-bc=1，求证：a2+b2+c2+d2+ab+cd不等于1 （最好用反证法）

注意是实数！速度！

Answer 1

证明：利用整数的奇偶性。
因为a,b,c,d为整数，ad-bc=1
所以ad与bc的奇偶性相反，不妨设bc为偶数，那么ad为奇数。则abcd的奇偶性为2奇2偶或者3奇1偶。
无论a,b,c,d是2奇2偶还是3奇1偶，容易验证a2+b2+c2+d2+ab+cd都是偶数，
所以a2+b2+c2+d2+ab+cd不等于1
命题得证。

Answer 2

若a²+b²+c²+d²+ab+cd=1，则a²+b²+c²+d²+ab+cd=ad-bc
2a²+2b²+2c²+2d²+2ab+2cd-2ad+2bc=0
(a+b)²+(c+d)²+(b+c)²+(a-d)²=0
平方项都为非负数，所以全等于0
即a=-b①，c=-d②，b=-c③，a=d④
由①②③得 a=-b=c=-d，又由④d=-d，所以a=b=c=d=0
而ad-bc≠1，与条件矛盾，所以假设不成立.
故a²+b²+c²+d²+ab+cd≠1.

Answer 3

但愿你看得懂- -。。