Question

请问一个高阶线性微分方程的问题

把n阶线性微分方程转化为一个一阶n元线性微分方程组之后，先求其齐次方程组的基解矩阵，再用常数变易公式求得其非齐次方程组的解，然后其第一个分量就是原来的n阶方程的解。我的问题是：
1，我的求解思路对吗？
2，由齐次方程组的基解矩阵根据不同的初值条件仅能得到n个线性无关的解 ，但是非齐次n阶方程有n+1线性无关解 啊 ？

Answer 1

1.求解思路基本正确，但是如果在实数域下解方程要注意把基解矩阵转化为expAt求得实数域下的基础解系。
2.你理解上可能有偏差或者这个问题写的有歧义。我们关心的解基本都是满足柯西问题的情况，即给定一组初值存在一组唯一解。直观上说，基解矩阵中的线性无关向量就是基底，任意的常数就是坐标，没给初值的话我可以说这个坐标系下所有的坐标都是方程的解，这个坐标系就是基解矩阵的意义，但是，只要给我一组初值，我就可以确定一组坐标，这个就是初值的意义。所以一旦给定初值，那必定能得到一个方程的解！
如果把“仅能得到n个线性无关的解”理解为给定一组初值可以确定下来n个线性解向量的前面的系数，那么也是不对的，这组解未必是线性无关的，因为我不记得有定理说系数里面不能有超过两个c等于0，如果有两个以上的c等于0，那么这个解虽然里面的向量基底全部是线性无关的，但是乘完系数以后出来的结果当中可能有两个以上零向量，也就不能说他们线性无关了。

请您把问题表述的再稍微清楚一些或者原文复制过来题目可以吗？

Answer 2

我也一直有疑问，解决理解了，说下哈

Answer 3

不会啊