Question

一道数学几何题~

正方形ABCD中，M是AB延长线上一点,MN⊥DM且交 角CBE的平分线于N。
求证（1）MD=MN
（2）如果点M是AB上任意一点，其余条件不变，则结论“MD=MN”成立吗？成立给出证明；不成立说明原因。

给个过程，谢谢了

Answer 1

证明：（1）过N往BE做垂线NO交BE于O,则△DAM和△MON相似，NO/OM=AM/AD=1/2，
又∠NBO为45°，则NO=BO,所以MO=2NO=2BO=AB=AD,△DAM和 △MON全等，所以MD=MN
（2）不妨设正方形边长为1，AM=x，则，MB=1-x，再设NO=BO=y，根据相似得，1/x=(1-x+y)/y
化简为(x-y)(x-1)=0,解得x=y或x=1,当x=y时则△DAM和 △MON全等，MD=MN
所以有结论，当M不在B点上时，MD=MN成立！

Answer 2

取AD中点F，连接FM
则AF=AM
∴∠DFM=135°
∵BN是外角平分线
∴∠MBN=135°
∴∠DFM=∠MBN
∵∠ADM+∠AMD=∠BMN+∠AMD
∴∠ADM=∠BMN
∵DF=BM
∴△MFD≌△MBN
∴MD=MN

成立
在AD上取DF=MB，
则易知：∠ADM=90°-∠DMA，
∵MN⊥DM
∴∠NMB+∠DMA＝90°，
∴∠ADM=∠NMB，
又∠DMF=45°－∠ADM，∠MNB＝45°－∠NMB，
∴∠DMF=∠MNB，
又DF＝MB，
∴△DMF≌△MNB，
∴MD＝MN。

Answer 3

证明：（1）取AD的中点H，连接HM．
在△DHM和△MBN中，
∵四边形ABCD是正方形，M为AB的中点，
∴BM=HD，
又∵∠DHM=135°，BN是∠CBE的平分线．
∴∠MBN=135°，
∴∠DHM=∠MBN，
又∵DM⊥MN，
∴∠NMB+∠AMD=90°，
又∵∠HDM+∠AMD=90°，
∴∠BMN=∠HDM，
∴△DHM≌△MBN，
∴DM=MN；

（2）DM=MN仍成立．
在AD上取一点H，使DH=MB，连接HM．
∵四边形ABCD是正方形，BN平分∠CBE，DM⊥MN，
∴∠DHM=∠MBN=135°，
∠BMN+∠AMD=90°，∠HDM+∠AMD=90度，
∴∠BMN=∠HDM，
∴△DHM≌△MBN，
∴DM=MN．
若点M在AB的延长线上，
则在AD延长线上取点H，使DH=BM，连接HM．
同理可证：△DHM≌△MBN，
∴DM=MN．

Answer 4

作mh ⊥ae
角dma+角mnh=90
角dma+角adm=90
角adm=角mnh
直角相等
一对边相等
全等

Answer 5

有图更方便理解

Answer 6

成立，应为DMN是直角 并且AM=MB 所以MD=MN!!
好了 给分