Question

如图,已知:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,M是AB边的中点,CH⊥AB于H,CD平分∠ACB。

（1）求证：∠HCD=∠MCD；
（2）过点M作AB的垂线交CD的延长线于E，求证：CM=EM；
（3）判断△AEB是什么三角形？证明你的判断。

Answer 1

Rt△ABC中,∠ACB=90°,M是AB边的中点 所以AM=CM =BM ∠CAB=∠ACM
∠CAB=90- ∠ABC ∠BCH=90- ∠ABC 所以 ∠CAB= ∠BCH
所以 ∠BCH =∠ACM 有CD平分,∠ACB ,∠ACD = ,∠B CD
,∠ACD -∠ACM = ∠B CD-∠BCH 即 ∠HCD=∠MCD
（2）EM垂直AB CH垂直AB 所以 EM平行AB 所以 ∠HCD=∠MED
又 ∠HCD=∠MCD 所以 ∠MCD=∠MED 所以CM=EM
（3) △AEB是等腰直角三角形
CM=EM AM=CM =BM 所以EM =AM =BM △AEB是直角三角形（一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形）

EM垂直平分AB 所以EA=EB △AEB是等腰三角形
所以△AEB是等腰直角三角形