Question

已知f(x)=（a*2^x -1）/1+2^x (a∈R）是R上的奇函数，1.求a 2.求f(x)在R上的单调性。要详细

已知f(x)=（a*2^x -1）/1+2^x (a∈R）是R上的奇函数，1.求a 2.求f(x)在R上的单调性。要详细
已知f(x)=（a*2^x -1）/1+2^x =b 有解 求b的取值范围。

Answer 1

1，因为f(x)=（a*2^x -1）/1+2^x (a∈R）是R上的奇函数，所以
f(x)+f(-x)=0， （ a*2^x -1）/（1+2^x）+[a*2^（-x） -1] / [1+2^（-x）]=0，
（a*2^x -1）/1+2^x+（a-2^x ）/（2^x+1）=0，(a-1)(2^x+1)/(2^x+1)=0，
解得： a=1。 函数f(x)为： f(x)=(2^x-1)/(1+2^x)。
2，令实数x1、x2，x1<x2，
则 f(x1)-f(x2)=(2^x1-1)/(1+2^x1)-(2^x2-1)/(1+2^x2)
=(2^x1-2^x2)(2^x1+2^x2)/(1+2^x1)(1+2^x2)
因为 x1<x2 所以 0<2^x1<2^x2 ， 2^x1-2^x2<0，
2^x1+2^x2>0， 1+2^x1>0 ， 1+2^x2>0，
所以 f(x1)-f(x2)<0 ，即 f(x1)<f(x2)。
所以 f(x)在R上是单调增函数。
3，f(x)=（2^x -1）/1+2^x =b 有解，即：
2^x-1=b(1+2^x) ， (b-1)*2^x=-(b+1)。
因为2^x>0 ，所以 -(b+1)/(b-1)>0，解不等式得：-1<b<1。
所以 b的取值范围为：-1<b<1。

Answer 2

(1) f(x)=-f(-x) 解得a=1
(2)设x1<x2 计算一下f(x2)-f(x1) 结果是增函数