Question

设双曲线x^2/3-y^2=1上一点P,F1,F2为两焦点,求向量PF1×向量PF2的取值范围

Answer 1

∵c²=a²+b² ∴c=2

∴F1(-2，0)，F2(2，0)

双曲线参数方程为：

x=√3secθ，y=tanθ

(这里：-π/2＜θ＜π/2或者：π/2＜θ＜3π/2)

∵P点坐标：(√3secθ，tanθ)

∴向量PF1=(-2-√3secθ，-tanθ)，向量PF2=(2-√3secθ，-tanθ)

∴内积：PF1·PF2=(-2-√3secθ)×(2-√3secθ)+(-tanθ)×(-tanθ)

=3sec²θ-4+tan²θ=4tan²θ-1

∵tanθ∈R ∴tan²θ≥0

∴PF1·PF2=4tan²θ-1≥-1

注：你题目中的“向量PF1×向量PF2”如果真的是“×”号，那么就是求外积，PF1×PF2的结果是一个向量，没有取值范围的概念，所以这里认为你求的是内积：PF1·PF2

手工计算，错了轻拍~

Answer 2

解：易知,F1(-2,0),F2(2,0),可设点P(x,y).则(x²/3)-y²=1.且有(x²/3)-1=y²≥0.===>x²/3≥1===>4x²/3≥4.且y²=(x²/3)-1.同时,向量PF1=(-2-x,-y),向量PF2=(2-x,-y).∴W=PF1·PF2=（-2-x,-y)·(2-x,-y)=x²-4+y²=(4x²/3)-5.∵4x²/3≥4.===>(4x²/3)-5≥-1.即PF1·PF2≥-1.∴PF1·PF2∈[-1,+∞).