Question

双曲线x^2-y^2/3=1的左顶点为A1,右焦点为F2,P为右支上一点，向量PA1*PF2最小值

Answer 1

解：

双曲线：x²-y²/3=1

a=1，b=√3，c=2，e=c/a=2

∴A1(-1,0)，F2(2,0)

可设P(m，n)

P在双曲线右支上，m²-n²/3=1，且m≥a=1，得n²=3(m²-1)

向量PA1·向量PF2

=(-1-m,-n)·(2-m,-n)

=(m+1)(m-2)+n²

=m²-m-2+3m²-3

=4m²-m-5

此函数图象开口向上，对称轴为m=1/8

∵m≥1

∴在m的范围（1，+∞）内是增函数，

∴m=1时取得最小值，此时P在右顶点处

最小值为4-1-5=-2

谢谢