Question

由abc三个字母组成的3n元字中，规定每个字母至多出现n次，且a必须出现偶次，求字数

Answer 1

根据题意，我们可以得到以下几个条件：

1. 3n个字母组成，即共有3n个空位需要填入字母。
2. 每个字母至多出现n次，即a、b、c这三种字母在这3n个位置中最多分别出现n次。
3. a必须出现偶次，即a的出现次数必须为偶数次。

对于第三个条件，我们可以将a出现的情况分为两种，即出现偶数次和出现奇数次。

如果a出现偶数次，那么我们可以先将其中n个位置填上a，然后将剩下的n个位置随便填上其他两个字母即可，共有C(3n, n)种填法。

如果a出现奇数次，那么a的出现次数只能是1、3、5、...、n-1，因为a必须出现偶数次。当a出现1次时，我们可以先在其中一个位置填上a，然后在剩下的3n-1个位置中选择n个填上a的另外两个字母，共有3n-1种选择的方法；当a出现3次时，我们可以先在其中三个位置填上a，然后在剩下的3n-3个位置中选择n个填上a的另外两个字母，共有C(3n-3, n)种选择的方法；以此类推，当a出现奇数次时，共有∑(k=0)^(n/2-1)C(3n-2k-1, n)种填法。

综上所述，由abc三个字母组成的3n元字中，规定每个字母至多出现n次，且a必须出现偶次，共有C(3n,n)+(∑(k=0)^(n/2-1)C(3n-2k-1