Question

已知f（x）=ax-lnx，x属于（0，e】，g(x)=lnx/x,其中e是自然数，a=1，求证f(x)>g(x)+1/2

(2)令h(x)=f(x)-g(x)-1/2=x-lnx-lnx/x-1/2
h′(x)=(x²-x+lnx-1)/x²
令H(x)=x²-x+lnx-1
则H′(x)=2x-1+1/x=(2x²-x+1)/x>0
易知H(1)=0
故当0<x<1时，H(x)<0,即h′(x)<0
1<x<e时，H(x)>0,即h′(x)>0
故当x=1时h(x)有最小值为h(1)=1/2>0
故对x∈（0，e]有h(x)>0
即f(x)>g(x)+1/2

H(1)怎么会等于零呢？不是-1吗？

Answer 1

我给你我的答案，上面的那种我是第一想到，但是有点麻烦我就不打算给你这种
第一问你应该求到了
g(x)=lnx/x,讨论得到x=e时有最大值g(x)max=1/e
所以符号右边最大值为1/e+1/2<1
对f(x)最小值为在x=1取得
f(x)min=1
故得出结论