Question

高中数学 三角函数 急！

已知：锐角三角形ABC中，A>B>C
求证：sin2A<sin2B<sin2C

急需证法！！！

Answer 1

因为a>b>c
所以 sina>sinb>sinc
由二倍角sina>sinb>sinc,sina^2>sinb^2>sinc^2
1-cos2a>1-cos2b因为角为钝角，所以平方后要变号
cos2a^2>cos2b ^2
1-cos2a^2<1-cos2b^2
sin2a<sin2b
同理证sin2b<sin2c

Answer 2

在锐角三角形ABC中，A>B>C,A+B+C=π

由于A>B>C， 最大的角要大于平均值，最小的角要小于平均值，因为均是锐角，所以π/2 >A> π/3
并且2π/3>B+C>π/2,所以B>π/4 ,
即π/2 >A> π/3 ,A>B>π/4 ,π/3>C>0，

π>2A>2π/3, 2A>2B>π/2
正弦函数在（π/2,π)区间是单调减函数，所以sin2A < sin2B
当B>C≥π/4时，π>2A>2B>2C>π/2
同上sin2A<sin2B<sin2C ***(正弦函数在（π/2,π)区间是单调减函数)****

当π/4>C>0时，
B+C>π/2,
即B>π/2 -C 2B>π-2C ,
并且π-2C>π/2,
所以sin2B <sin(π-2C) ***(正弦函数在（π/2,π)区间是单调减函数)****
π/2>2C>0 所以 sin(π-2C)=sin2C
即sin2A<sin2B<sin2C
综上 sin2A<sin2B<sin2C