Question

如图，已知直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝AB＝2，OC＝3，过点B作BD⊥BC，交

）如图，已知直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝AB＝2，OC＝3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于E和F．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；
（3）连结EF，设△BEF与△BFC的面积之差为S，问：当CF为何值时S最小，并求出这个最小值．

Answer 1

(1)由题得A（0,2）B（2,2）C（3,0）
代入得y=-2/3X^2+4/3x+2
(2)设抛物线的顶点为G，则G（1，8/3 ），过点G作GH⊥AB，垂足为H，
则AH=BH=1，GH=8/3 -2=2/3 ；
∵EA⊥AB，GH⊥AB，∴EA‖GH；
∴GH是△BEA的中位线，
∴EA=2GH=2/3 ；
过点B作BM⊥OC，垂足为M，则BM=OA=AB；
∵∠EBF=∠ABM=90°，
∴∠EAB=∠FBM=90°-∠ABF，
∴Rt△EBA≌Rt△FBM，∴FM=EA= 4/3；
∵CM=OC-OM=3-2=A，∴CF=FM+CM=7/3
（3）设CF=a，则FM=a-1或1-a，
∴BF2=FM2+BM2=（a-1）2+22=a2-2a+5，
∵△EBA≌△FBM，
∴BE=BF，
则S△BEF= BE•BF= 1/2（a2-2a+5），
又∵S△BFC= FC•BM= 1/2×a×2=a，
∴S=1/2 （a2-2a+5）-a，即S=1/2 （a-2）2+ 1/2；
∴当a=2（在0＜a＜3范围内）时，S最小值= 1/2．

Answer 2

楼上楼下的这么没公德心，你们居然复制菁优网教师的辛苦结晶， 别以为改过别人就看不出来。

Answer 3

二次函数综合题．分析：（1）根据OA、AB、OC的长，即可得到A、B、C三点的坐标，进而可用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）此题要通过构造全等三角形求解；过B作BM⊥x轴于M，由于∠EBF是由∠DBC旋转而得，所以这两角都是直角，那么∠EBF=∠ABM=90°，根据同角的余角相等可得∠EBA=∠FBM；易知BM=OA=AB=2，由此可证得△FBM≌△EBA，则AE=FM；CM的长易求得，关键是FM即AE的长；设抛物线的顶点为G，由于G点在线段AB的垂直平分线上，若过G作GH⊥AB，则GH是△ABE的中位线，G点的坐标易求得，即可得到GH的长，从而可求出AE的长，即可由CF=CM+FM=AE+CM求出CF的长；
（3）由（2）的全等三角形易证得BE=BF，则△BEF是等腰直角三角形，其面积为BF平方的一半；△BFC中，以CF为底，BM为高即可求出△BFC的面积；可设CF的长为a，进而表示出FM的长，由勾股定理即可求得BF的平方，根据上面得出的两个三角形的面积计算方法，即可得到关于S、a的函数关系式，根据函数的性质即可求出S的最小值及对应的CF的长．解答：解：
（1）由题意可得A（0，2），B（2，2），C（3，0），
设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
则 {c=24a+2b+c=29a+3b+c=0，解得 {a=-23b=43c=2；（3分）
∴抛物线的解析式为y=- 23x2+ 43x+2；（1分）
（2）设抛物线的顶点为G，则G（1， 83），过点G作GH⊥AB，垂足为H，
则AH=BH=1，GH= 83-2= 23；
∵EA⊥AB，GH⊥AB，∴EA‖GH；
∴GH是△BEA的中位线，
∴EA=2GH= 43；（2分）
过点B作BM⊥OC，垂足为M，则BM=OA=AB；
∵∠EBF=∠ABM=90°，
∴∠EAB=∠FBM=90°-∠ABF，
∴Rt△EBA≌Rt△FBM，∴FM=EA= 43；
∵CM=OC-OM=3-2=1，∴CF=FM+CM= 73（2分）；
（3）设CF=a，则FM=a-1或1-a，
∴BF2=FM2+BM2=（a-1）2+22=a2-2a+5，
∵△EBA≌△FBM，
∴BE=BF，
则S△BEF= 12BE•BF= 12（a2-2a+5），（1分）
又∵S△BFC= 12FC•BM= 12×a×2=a，（1分）
∴S= 12（a2-2a+5）-a= 12a2-2a+ 52，即S= 12（a-2）2+ 12；（1分）
∴当a=2（在0＜a＜3范围内）时，S最小值= 12．（1分）点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、全等三角形的判定和性质以及三角形面积的求法等重要知识点，能够正确的将求图形面积最大（小）问题转换为二次函数求最值的问题是解答（3）题的关键．

Answer 4

解：
（1）由题意可得A（0，2），B（2，2），C（3，0），
设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
则
c=24a+2b+c=29a+3b+c=0
，解得
a=-23b=43c=2
；（3分）∴抛物线的解析式为y=-
2
3
x2+
4
3
x+2；（1分）

（2）设抛物线的顶点为G，
则G（1，
8
3
），过点G作GH⊥AB，垂足为H，则AH=BH=1，GH=
8
3
-2=
2
3
；
∵EA⊥AB，GH⊥AB，
∴EA∥GH；
∴GH是△BEA的中位线，
∴EA=2GH=
4
3
；（2分）
过点B作BM⊥OC，垂足为M，则BM=OA=AB；
∵∠EBF=∠ABM=90°，
∴∠EBA=∠FBM=90°-∠ABF，
∴Rt△EBA≌Rt△FBM，
∴FM=EA=
4
3
；
∵CM=OC-OM=3-2=1，
∴CF=FM+CM=
7
3
（2分）；

（3）设CF=a，则FM=a-1，
∴BF2=FM2+BM2=（a-1）2+22=a2-2a+5，
∵△EBA≌△FBM，
∴BE=BF，
则S△BEF=
1
2
BE•BF=
1
2
（a2-2a+5），（1分）又∵S△BFC=
1
2
FC•BM=
1
2
×a×2=a，（1分）∴S=
1
2
（a2-2a+5）-a=
1
2
a2-2a+
5
2
，即S=
1
2
（a-2）2+
1
2
；（1分）∴当a=2（在0＜a＜3范围内）时，S最小值=
1
2 ．（1分）