Question

高二数学立体几何

如图，已知M，N，P分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱CC1，BC，CD的中点，求证：A1P垂直平面DMN
好了，我自己做出来了，不过看看有没有方法更巧妙的。

Answer 1

连接D1P,易证△D1DP≌△DCM，
则∠DD1P=∠CDM,
而在直角三角形DD1P中，∠DD1P+∠D1PD=90°，
所以∠CDM+∠D1PD=90°，∴D1P⊥DM.
ABCD—A1B1C1D1是正方体，所以A1D1⊥平面CDD1C1，A1D1⊥DM.
所以DM⊥平面A1D1 P，DM⊥A1 P.
同理DN⊥A1 P.
∴A1 P⊥平面DMN.

当然这个题也可以建立空间直角坐标系求解。