Question

过双曲线的右焦点F,引它的一条渐近线的垂线,垂足为M,延长FM交y轴于E,若M为EF的中点,则双曲线离心率为

Answer 1

解:设双曲线的标准方程是x^2/a^2-y^2/b^2=1
渐近线方程是y=±(b/a)x
右焦点的坐标是（c,0)
现在假设由右焦点向一、三象限的渐近线引垂线
所以取方程y=(b/a)x
因为EF垂直于渐近线
所以 直线EF的斜率是-a/b
该直线的方程是y= (-a/b) (x-c)
整理有 y=--ax/b+ac/b
当x=0时，y=ac/b
所以E点的坐标（0,ac/b)
EF的中点M的坐标(c/2,ac/2b)
点M在渐近线上，则ac/(2b)=(b/a)×(c/2)
整理得： a^2=b^2
所以c^2=2a^2
c=(√2)a
所以离心率e=c/a=√2
如有疑问，可以随时联系。