Question

一道高中数学抛物线问题，求大神解答～

Answer 1

1.动直线BC是否恒过定点？

2.若△ABC是等腰三角形，证明直线 BC的斜率大于2.

Answer 2

(1)作为奥数竞赛没问题，(2)有点太过，三次多项式有理系数范围不可约！方程高中知识不可解！为何不证明BC斜率>3(这个结论一定成立)？

人还在心冠肺炎病中，这个帖子不会又被删除吧？心血之作！

Answer 3

首先，把点A(-1)代入抛物线方程，可以得到点A的坐标为B(1,-2)。
然后，根据直线段斜率公式，可以求出线段AB和线段AC的斜率，分别为k1和k2，其中k1=1/2和k2=-1/2。
接下来，根据直线斜率垂直时两条直线之间斜率的关系，可以得到直线BC的斜率k3=k1*k2=-1/4。
对于第一问，根据常识可知，两个点构成的直线没有过定点的性质，因此，对于任意一组不同的动点B和C(注意不与A共线)，直线BC不会过定点。
对于第二问，因为抛物线是关于y轴对称的，由A、B、C三点构成的三角形ABC是以直线y=-2为中线的等腰三角形。又因为直角三角形的斜率之积为-1，因此有：
k2k3=-1/4(-1/2)=1/8
根据等腰三角形的性质，线段AB和线段AC的长度相等，因此，若以线段AB的中点为圆心作圆，则线段AC再产生的交点D必定在此圆上。因为三角形ABC是以直线y=-2为中线的等腰三角形，因此BC的垂线必定与此直线垂直，直线BC的斜率对应着此垂线的斜率，即k3=-1/4。由于直线垂线交于圆心，因此BD/DC=1，由此可得线段CD的斜率：
k4=-k3/(1-k3)=-1/3
证毕。