Question

已知四边形ABCD是等腰梯形，AB=3,DC=1,∠BAD=45°，DE⊥AB（如图①），现将△ADE沿DE折起，

【接上】使得AE⊥EB（如图②），连结AC，AB，设M是AB的中点
①求证：BC⊥平面AEC
②判断直线EM是否平行平面ACD并说明理由（反证法）

Answer 1

证：（I）在图1中，过C作CF⊥EB，

∵DE⊥EB，∴四边形CDEF是矩形，

∵CD=1，∴EF=1。

∵四边形ABCD是等腰梯形，AB=3。

∴AE=BF=1。

∵∠BAD=45°，∴DE=CF=1。

连结CE，则CE=CB=

∵EB=2，∴∠BCE=90°。

则BC⊥CE。

在图2中，∵AE⊥EB，AE⊥ED，EB∩ED=E，

∴AE⊥平面BCDE。

∵BC平面BCDE，∴AE⊥BC。

∵AE∩CE=E，∴BC⊥平面AEC。

（II）∵AE⊥平面BCDE，CF平面BCDE。

∴AE⊥CF。

∴CF⊥平面ABE。

过C作CG⊥AB，连结FG，则∠CGF就是二面角C―AB―E的平面角。

又CF=1，AE=1，CE=BC=。

∴AC=

在Rt△ACB中，AB=

又AC・BC=AB・CG，∴CG=

∴FG=

∴二面角C―AB―E的正切值为

（III）用反证法。

假设EM‖平面ACD。

∵EB‖CD，CD平面ACD，EB平面ACD，

∴EB‖平面ACD。∵EB∩EM=E，∴面AEB‖面ACD

而A∈平面AEB，A∈平面ACD，

与平面AEB//平面ACD矛盾。

∵假设不成立。

∴EM与平面ACD不平行。