Question

求椭圆x^2+y^2/9=1上的点P到直线4x-y+10=0的距离的最值

求椭圆x^2+y^2/9=1上的点P到直线4x-y+10=0的距离的最值

Answer 1

直线4x-y+10=0斜率为4，
则与该直线平行即斜率为4的二条切线，在第二象限切点为最近点，在第四象限切点为最远点，
设切线方程为：y=4x+m,
代入椭圆方程，
x^2+(4x+m)^2/9=1,
25x^2+8mx+m^2-9=0,
当直线与椭圆相切时，一元二次方程判别式为0，
64m^2-100m^2+900=0,
m^2=25,
m=5，切点在第2象限，有最小距离，
m=-5，切点在第4象限，有最大距离，
y=4x+5,
在Y轴截距差为10-5=5,则二直线距离为5√2/2，为最小距离。
在Y轴截距差为10-（-5）=15，,则二直线距离为15√2/2，为最大距离。