Question

已知正实数xi：x1*x2*x3*x4*...*xn=1.求证：[1/(n-1+x1)]+[1/(n-1+x2)]+...+[1/(n-1+xn)]=<1.

*是乘号.题中的x1、xn等都是x的角标

Answer 1

∵1/(n-1+xi)-1/n=(1-xi)/[n(n-1+xi)]
∴[1/(n-1+x1)]-1/n+[1/(n-1+x2)]-1/n+...+[1/(n-1+xn)-1/n]
=(1-x1)/[n(n-1+x1)]+(1-x2)/[n(n-1+x2)]+…+(1-xn)/[n(n-1+xn)]
注意到xi越大，1-xi越小，n(n-1+xi)越大
即(1-x1)/[n(n-1+x1)]+(1-x2)/[n(n-1+x2)]+…+(1-xn)/[n(n-1+xn)]
是反序和，由切比雪夫不等式，有：
(1-x1)/[n(n-1+x1)]+(1-x2)/[n(n-1+x2)]+…+(1-xn)/[n(n-1+xn)]
≤(n-x1-x2-…-xn){1/[n(n-1+x1)]+1/[n(n-1+x2)]+...+1/[n(n-1+xn)]}/n
由x1x2…xn=1知，x1+x2+…+xn≥n
而{1/[n(n-1+x1)]+1/[n(n-1+x2)]+...+1/[n(n-1+xn)]}/n＞0
故[1/(n-1+x1)]-1/n+[1/(n-1+x2)]-1/n+...+[1/(n-1+xn)-1/n]≤0，移项得：
[1/(n-1+x1)]+[1/(n-1+x2)]+...+[1/(n-1+xn)]≤1