Question

已知平面直角坐标系xOy，抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A(4,0)、B(1,3)

已知平面直角坐标系xOy，抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A(4,0)、B(1,3) .

（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；

（2）记该抛物线的对称轴为直线l，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P关于直线l的对称点为E，点E关于y轴的对称点为F，若四边形OAPF的面积为20，求m、n的值

Answer 1

（1） 将点A(4,0)、B(1,3) 的坐标分别代入y=-x^2+bx+c，得：
4b+c-16=0 ， b+c-1=3 ，解得： b=4 ， c=0。
所以抛物线的表达式为：y=-x^2+4x。
y=-x^2+4x=-(x-2)^2+4，
所以 抛物线的对称轴为：x=2，顶点坐标为：（2，4）。
（2） 由题可知，E、F点坐标分别为（4-m，n），（m-4，n）。
三角形POF的面积为：1/2*4*|n|= 2|n|，
三角形AOP的面积为：1/2*4*|n|= 2|n|，
四边形OAPF的面积= 三角形POF的面积+三角形AOP的面积=20，
所以 4|n|=20， n=-5。（因为点P(m,n)在第四象限，所以n<0）
又n=-m^2+4m，
所以 m^2-4m-5=0，m=5。（因为点P(m,n)在第四象限，所以m>0)
故所求m、n的值分别为 5，-5。