已知在M为△ABC的边BC的中点，求证AB²+AC²=2(AM²+BM²）
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向量AB=向量AM+向量MB 向量AB^2=向量AM^2+向量MB^2+2|向量AM|*|向量MB|cos<AMB>
向量AC=向量AM+向量CM 向量AC^2=向量AM^2+向量MC^2+2|向量AM|*|向量MB|cos<AMC>
cos<AMB>+cos<AMC>=0 |MB|=|MC|
相加 AB²+AC²=2(AM²+BM²）
向量AC=向量AM+向量CM 向量AC^2=向量AM^2+向量MC^2+2|向量AM|*|向量MB|cos<AMC>
cos<AMB>+cos<AMC>=0 |MB|=|MC|
相加 AB²+AC²=2(AM²+BM²）
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从A往BC做一条垂线，设垂足为D,假设BM>BD
则AC²=AD²+DC²=AD²+(DM+MC)²=AD²+(DM+MB)²=AD²+DM²+2DM*MB+MB²=(AM²-DM²)+DM²+2MD*MB+MB²=AM²+2MD*MB+MB²
AB²=BD²+AD²=(BM-DM)²+(AM²-DM²)=BM²+DM²-2BM*DM+AM²-DM²=BM²-2BM*DM+AM²
∴AC²+AB²=AM²+2MD*MB+MB²+(BM²-2BM*DM+AM²)=2(AM²+BM²）
则AC²=AD²+DC²=AD²+(DM+MC)²=AD²+(DM+MB)²=AD²+DM²+2DM*MB+MB²=(AM²-DM²)+DM²+2MD*MB+MB²=AM²+2MD*MB+MB²
AB²=BD²+AD²=(BM-DM)²+(AM²-DM²)=BM²+DM²-2BM*DM+AM²-DM²=BM²-2BM*DM+AM²
∴AC²+AB²=AM²+2MD*MB+MB²+(BM²-2BM*DM+AM²)=2(AM²+BM²）
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