Question

设0是坐标原点，点M的坐标为（2,1），若点N（x,y）满足不等式组{x-4y+3≤0 {2x+y-12≤0 {x≥1，

则使得向量OM.向量ON取得最大值时点N的个数为？

写哈详细步骤和思路嘛，谢谢哈
大哥，我看不懂！

Answer 1

解：这是一个线性规划问题。容易求得三条直线x-4y+3=0、2x+y-12=0、x=1的交点为A(1，10)，B(1，1)，C(5，2)
题中的三个不等式表示的点集是△ABC内的区域(包括边界)。N点即在这个区域内。
在这个区域内取定一点N，并设向量OM与向量ON的夹角为θ，过N作OM的垂线，垂足为H。因为 | 向量OM |=√(2²+1²) =√5，所以
向量OM*向量ON=| 向量OM |*| 向量OM |*cosθ=√5*| 向量ON |* cosθ=√5*|OH|
要求向量OM*向量ON的最大值，就是求|OH|的最大值，原题就转化为“从△ABC内(包括边界)哪一点向直线OM引垂线，得到的垂足到原点的距离最长。”
直线OM的斜率=1/2，直线2x+y-12=0的斜率= -2，两个斜率之积为-1，所以这两直线垂直，所以
当N点为线段AC上的任一点时，都符合题意。所以符合条件的N点有无数个。

Answer 2

向量OM*向量ON=2x+y     无数个