Question

几何证明题

。

Answer 1

nihaoedu ，你好：
此题用向量做很简单，用几何做则比较麻烦。不知你学过向量没。我写下来吧。
证明，记BD/DC=CE/EA=AF/FB=k, 设大三角形的重心为G, 小三角形的重心为G'，
由重心的性质知，（下面均为向量形式）GA+GB+GC=0 （1），G‘E+G’F+G‘D=0 （2），G’A=G‘E+EA，G’B=G‘F+FB，G’C=G‘D+DC （3），而EA=1/(1+k)CA, FB=1/(1+k)
AB,DC=1/(1+k)BC,(4) 下面是重点，要证两重心重合，即证GG‘=0：
GG’=GA+AG‘=GA-G’A 联立以上几式，最后得GG'=K(AB+BC+CA)=0,故重合。

Answer 2

设BD : DC = CE : EA = AF : FB = γ
根据矢量加法有 矢量BD + 矢量CE + 矢量AF = (γ/(1 + γ)) (矢量BC + 矢量CA + 矢量AB） = (γ/(1 + γ)) * 0 = 0
设 O 为△ABC的重心，有 矢量OA + 矢量OB + 矢量OC = 0
而 矢量OD = 矢量OB + 矢量BD
矢量OE = 矢量OC + 矢量CE
矢量OF = 矢量OA + 矢量AF
所以
矢量OD + 矢量OE + 矢量OF
= （矢量OB + 矢量BD） + （矢量OC + 矢量CE） + （矢量OA + 矢量AF）
= （矢量OA + 矢量OB + 矢量OC）+ （矢量BD + 矢量CE + 矢量AF）
= 0 + 0 = 0
故 O也是△DEF的重心。问题得证。
注：这里用到一个定理：
O是三角形的重心的充要条件是矢量OA+矢量OB+矢量OC=0

Answer 3

先令A、B、C坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)、(x3，y3)
边的比例为一常数n
则边上各点D坐标为（（x1+（x3-x1）/n)，(y1+(y3-y1)/n)）
E、F点同理推之
再用重心坐标公式分别计算两个三角形的重心，结果相等，证毕
重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；

Answer 4

至于证明线段（包括求长度，或者倍数关系）的，就稍微难一点，有一点不容质疑，几乎所有你觉得有难度的题的线段关系，都是与和差有关的，要不就是 别的什么了。

Answer 5

；就好好规划首先：令A、B、C坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)、(x3，y3)边的比例为一常数n
则边上各点D坐标为（（x1+（x3-x1）/n)，(y1+(y3-y1)/n)）
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